数学哲学译文丨形式主义的两个教条（一） (11-2)

与语言相关的讨论有语义学和句法学, 命题逻辑和谓词逻辑也有语义学和句法学[2]. 广义上讲, 语义学是关于语言所表达内容的讨论. 狭义上讲, 语义学是关于真假概念的讨论, 在命题逻辑中是关于真值赋值的讨论, 在谓词逻辑中是关于结构和模型的讨论. 另一方面, 句法学是关于符号串操作的讨论, 无论在命题逻辑还是谓词逻辑中, 都是关于证明和定理的讨论. 在命题逻辑和谓词逻辑中, 语义学被认为是使用集合概念的包含无限性的超越性讨论, 而句法学的特点在于是关于符号这一具体对象的有限操作的讨论.

从朴素或通俗的角度来说, 语义学是关于语言所表达内容的理论, 而句法学是关于语言的符号串表示的理论. 然而, 命题逻辑中语义学和句法学的特点并不一定与这种通俗的语义学和句法学的理解相对应. 命题逻辑中的真值计算仅仅是按照一定规则对表示真假的两种符号进行有限的符号操作, 之所以可以说这种操作与真假的概念有关, 仅仅是因为阅读真值计算的人将表示真的符号与真的概念联系起来. 另一方面, 关于命题逻辑定理和证明的讨论确实是关于有限符号操作的讨论, 但如果逻辑公理和推理规则的选择的合理性是由完备性定理给出的, 那么就很难说关于命题逻辑定理和证明的讨论与真的概念无关. 而且, 如果不参考完备性定理, 很难解释为什么所选择的逻辑公理和推理规则是必要且充分的[3].

就命题逻辑而言, 真值计算和证明构造之间最大的区别不在于它们是否涉及真的概念或是否为符号串操作, 而在于真值计算是「可判定但低效的」, 而证明构造是「高效但不可判定的」. 当然, 也可能有这样一种观点, 即这种区别正是语义学和句法学之间的区别. 但如果选择这种观点, 就必须放弃对语义学和句法学的通俗理解, 关于这种观点的合理性需要进行相当多的讨论.

与命题逻辑相比, 谓词逻辑的语义学和句法学之间的区别看起来更加明显. 谓词逻辑的模型是使用集合概念定义的, 为了表明某个逻辑式可以从谓词逻辑理论中导出, 需要参考所有这样的模型. 另一方面, 与命题逻辑的情况类似, 在谓词逻辑中, 证明也仅仅是有限的符号串. 谓词逻辑的语义学必须使用基于集合概念的超越性方法, 而谓词逻辑的句法学始终是关于符号这一具体对象的有限讨论.

然而, 这种对谓词逻辑语义学和句法学差异的理解也与语义学和句法学的通俗理解不相符. 这一点在谓词逻辑的完备性定理的证明中表现得尤为明显. 在证明无矛盾理论具有模型的过程中, 关键是构造与结构的初等图式相对应的理论. 由于可以直接从这个理论得到模型, 所以这个理论几乎等同于模型. 因此, 这个理论是与语义学相关的对象. 但是, 由于这个理论是句子的集合, 根据句法学的通俗理解, 它也可以被视为句法学对象.

无论是在命题逻辑还是谓词逻辑中, 语义学和句法学的通俗理解都不适用. 这里有三种可能性. 第一种是世界上存在两种语义学和句法学. 这种观点很明确, 但本质上只是一种逃避. 第二种可能性是, 命题逻辑和谓词逻辑的语义学和句法学本来就不应该被称为语义学和句法学. 最后一种可能性是, 我们还没有充分理解语义学和句法学之间的区别.

9.2 经验主义者的亡灵

谓词逻辑语义学和句法学之间微妙而奇特的关系典型地体现在谓词逻辑语言Ը 的结构 𝕸 上 Ը的句子 φ 为真, 即 𝕸╞ φ这一概念的数学定义中.

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