数学哲学译文丨形式主义的两个教条（一） (11-1)

形式主义的两个教条

现代形式主义受到两个教条的严重制约. 一个教条是, 存在着句法学 (即独立于模型概念的、基于形式证明的数学真理) 和语义学 (即基于模型的数学真理) 之间的根本分裂. 另一个教条是还原主义, 即任何数学证明都等同于基于公理和推理规则的、由指称有限对象的名词构成的逻辑构造物. 我认为这两个教条都缺乏根据. 放弃这些教条会导致的一个结果是, 正如我们稍后将看到的, 数学哲学和作为数学的数学基础论之间被认为存在的界限会变得模糊. 另一个结果是转向实用主义[1].

一般认为, 谓词逻辑为数学中证明的概念提供了形式化的定义, 阐明了数学中真假的概念与可证明的概念之间的区别. 不完备定理是关于在谓词逻辑基础上发展的算术和集合论的定理, 不完备定理的意义和重要性也是在谓词逻辑的标准理解下讨论的. 然而, 谓词逻辑的标准理解并非完全不容置疑. 如果谓词逻辑的标准理解不适用, 那么对不完备定理揭示了什么的解释也将发生重大变化.

在本章中, 我们首先在9.1节和9.2节讨论谓词逻辑的语义学和句法学之间的区别. 9.1节指出, 在语义学和句法学差异的通俗理解下, 讨论谓词逻辑的语义学和句法学之间的区别是困难的, 语义学和句法学之间的区别并非像想象的那样显而易见. 9.2节讨论了许多与数学相关的讨论可能在不知不觉中受到逻辑实证主义数学观的影响, 谓词逻辑的语义学可能也是在这种影响下发展起来的.

接下来, 从9.3节到9.6节, 我们考虑谓词逻辑中形式证明的概念与数学中朴素证明的概念之间的关系. 证明的概念与演绎的概念密切相关, 一般认为谓词逻辑中形式证明的概念是对演绎的形式化. 9.3节讨论了形式证明的概念具有被认为是发现特征的性质, 形式证明的概念不一定与演绎相对应. 此外, 9.4节通过讨论可证明性概念与命题联结词「蕴含」之间的关系, 考虑了朴素证明概念可能与形式证明概念不对应的可能性, 并指出, 在谓词逻辑中, 语义学的存在与将证明形式化的思维方式是成对出现的.

9.5节介绍了源自卡尔纳普和蒯因的同义性报告、阐明、命名这三种定义的区分, 以及这种定义区分与形式主义数学观之间的关系. 特别是, 我们讨论了构造证明、理解证明以及检验证明正确性之间的区别, 并论证了作为阐明的定义在构造证明时很重要, 而作为命名的定义在检验证明正确性时很重要. 在这个讨论的基础上, 9.6节讨论了形式证明的概念不能简单地说是对朴素证明概念的阐明.

不管最初构建谓词逻辑的目的是什么, 对于当前的数学基础论来说, 形式证明的概念是否阐明了朴素证明的概念并没有太大意义. 9.7节提出, 对于当前的数学基础论来说, 谓词逻辑与其说是一个分析数学基础相关哲学概念的框架, 不如说是一种「关系代数学」. 最后, 在9.8节中, 我们介绍了这种「关系代数学」观点在数学基础论中带来的两种实用主义, 并讨论了在认为形式证明的概念不是对朴素证明概念的阐明时, 对形式主义和不完备定理的理解的可能性.

9.1 神圣的逻辑与世俗的逻辑

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