数学哲学译文丨形式主义的两个教条（二） (7-2)

形式主义的两个教条给出了谓词逻辑的标准解释, 作为数学基础的形式主义通过谓词逻辑得以体现. 然而, 形式主义应该有多种体现方式, 谓词逻辑的标准解释并不是唯一解释谓词逻辑意义的方式. 有必要区分形式主义的哲学意义和谓词逻辑的数学有效性, 但形式主义的两个教条却混淆了这两者. 应该存在一种不依赖于形式主义哲学意义的方法来阐明谓词逻辑的数学有效性, 也应该有一种不参考谓词逻辑所带来的数学世界的语言来解释形式主义的哲学意义. 放弃形式主义的两个教条并不意味着否定整个形式主义, 而是拒绝对谓词逻辑和形式主义的片面理解, 反而扩大了谓词逻辑和形式主义的可能性.

当认为形式化的「证明」概念与朴素的证明概念不相对应时, 许多人认为这是形式方法的弱点, 人类拥有谓词逻辑无法捕捉的数学能力. 然而, 正如8.2节所介绍的, 通过定义形式化的「证明」, 朴素的证明概念得到了阐明, 证明的概念因此得到了扩展. 从这个角度来看, 正如8.2节所论述的, 如果形式表达的无矛盾性能够被证明, 那么数学的无矛盾性就得到了保证. 但是, 正如第二不完备定理所揭示的, 即使形式表达的数学无矛盾性无法被证明, 本来意义上的数学无矛盾性仍有可能在数学上得到证明.

不完备定理之所以对希尔伯特纲领具有决定性意义, 是因为接受了形式主义的两个教条. 如果能够相对化形式主义的两个教条, 也许就可以打开各种可能性来理解和解释不完备定理和希尔伯特纲领.

形式主义编织的关于数学基础的故事非常精妙, 即使对形式主义漠不关心的人, 甚至主张形式主义是错误的人, 当被问及「数学是什么」时, 也会不由自主地说出这个故事, 仿佛具有某种魔力. 这也许是因为这个故事准确地描述了数学世界中发生的事情. 但对这个故事有一种模糊的违和感的人并不罕见, 看起来并非一切都是准确的, 看到的也并非就是一切. 也许只是错误地认为自己所看到的就是一切. 也许想要讲述的是「大象的故事」, 但形式主义所讲述的只是「大象的脚的故事」. 而如果直觉主义所阐明的是「大象的身体的故事」, 那么两个主义之间的争论从一开始就是不相干的, 形式主义和直觉主义可能是共存且互补的两种思想[45].

数学是有趣而重要的, 但回答「数学是什么」这个问题并不容易. 无论讨论的对象是什么, 似乎对「是什么」这种形式的问题给出有意义的答案都不容易. 更不用说试图给出「数学应该是什么」这种规范性的教条主义尝试, 简直是滑稽的. 不过, 我们想要知道我们是如何理解数学的, 以及有哪些可能的理解方式.

参考

1. 显然, 本章的标题和内容是对蒯因著名论文 [31]《经验主义的两个教条》的戏仿. 选择这个标题的真正原因是一点小小的玩心, 以及想引起分析哲学素养者兴趣的不纯动机. 但是在以这个标题写下正文的过程中, 我开始认为这个标题可能具有超越戏仿的内容. 本章可能没有与这个标题相称的内容, 但考虑到蒯因这篇论文经常被誉为20世纪最有影响力的分析哲学论文, 并且受到大量批评, 那么将对这篇论文的赞誉和批评运用到谓词逻辑上, 看看会得到什么样的启示, 这似乎是理解不完备定理所不可或缺的考察.

2. 「逻辑以『神圣』和『世俗』两种面貌出现. 神圣的面貌在证明论中占主导地位, 世俗的面貌在模型论中占主导地位.」van Dalen [224] p.V. 关于 van Dalen 的这段话, 也可参考足立恒雄 [4] pp.65-89.

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