Krull 维数和 Artin 环的结构 (4-4)

（1）设p∈ℤ 是素数，则 (p) ⊂ ℤ 为素理想，而整数环是 Noether 环，故对任一 n＞0 ， ℤ/(pⁿ) 为 Artin 局部环；

（2）设f ∈ k[X] 为域 k 上的不可约多项式，则对任一 n＞0 ， k[X]/(fⁿ) 是 Artin 局部环；

（3）设x 为域 k 上的任一超越元，考虑环 A：＝k[x²，x³]/(x⁴) ，可以证明 A 的理想仅有如下的这些

(0) ⊊ (αˉx²＋bˉx³) ⊊ (ˉx²，ˉx³) ⊊ (1)，

其中 α，b ∈ k ；于是 A 为 Artin 局部环，其极大理想 m＝(ˉx²，ˉx³) 满足 m²＝(0) ，我们有 A/m ≃ k ，因此 dimₖ(m/m²)＝dimₖ m＝2，

此即命题5.4.6的反面构造

命题5.4.6很重要，我们后面还会再遇到；下一节我们将给出 Noether 环上有限生成模的一条特殊的链

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