Krull 维数和 Artin 环的结构 (4-3)

Pf.由命题5.4.1（3）可知，当 A 是 Artin 局部环时，必有 m 幂零；反之如果 mⁿ＝0 ，则结合 A 为 Noether 环和推论5.3.9即有 A 是 Artin 环；

如果对任意的 n＞0 均有 mⁿ ≠ mⁿ⁺¹ ，则 mⁿ 不可能等于零，因而命题5.4.1（3）表明 A 不为 Artin 环；反之如果有 mⁿ＝mⁿ⁺¹ 成立，则根据 Nakayama 引理必有 mⁿ＝0 ，进而推论5.3.9给出 A 必为 Artin 环

例如，设A 为 Noether 环， p ∈ SpecA ，考虑局部化 Aₚ ，它是一个 Noether 局部环，极大理想为 pAₚ ，于是对任意的 n＞0 ，商环 Aₚ/(pAₚ)ⁿ 是 Artin 局部环

定理5.4.5 （Artin 环的结构定理）设 A 为 Artin 环，则 A 环同构于有限个 Artin 局部环的乘积

Pf.根据命题5.4.1， A 的素理想均为极大理想，并且只有有限个；设 SpecA＝{m₁，· · ·，mₙ}，则由定理5.4.3的证明过程可知，存在一个 k＞0 使得

ₙ

∏ mᵏᵢ＝0；

ᵢ₌₁

对指数 l 归纳可以证明，所有的 mˡᵢ 总是两两互素的，即对任意的 j ≠ i 均有 mˡᵢ＋mˡⱼ＝(1) ，进而由 mˡᵢ＋mˡⱼ ⊂ mˡᵢ＋mⱼ 可知 mˡᵢ＋mⱼ＝(1) ，故 mˡᵢ ⊈ mⱼ ；于是每个 A/mᵏᵢ 只有唯一的极大理想 mᵢ/mᵏᵢ ，即为 Artin 局部环

根据中国剩余定理，有

ₙ ₙ

A＝A/∩mᵏᵢ ≃ ∏ A/mᵏᵢ.

ᵢ₌₁ ᵢ₌₁

命题5.4.6 设 A 为 Artin 局部环， m 为极大理想， k＝A/m 为剩余域，则以下等价：

（1）A 的每个理想均为主理想；

（2）A 的极大理想是主理想；

（3）dimₖ(m/m²) ≤ 1

Pf.（1） ⇒ （2）显然；

（2） ⇒ （3）注意到如果 x₁，· · ·，xₙ 是 m 的一组生成元，则有 m/m²＝kˉx₁＋· · ·＋kˉxₙ，

于是 dimₖ(m/m²) ≤ n ，由此即得（3）；

（3） ⇒ （1）我们分两种情况：如果 dimₖ(m/m²)＝0 ，则 m/m²＝0 ，由 Nakayama 引理知 m＝0 ，因此 A＝A/m 是一个域；

如果 dimₖ(m/m²)＝1 ，根据 Nakayama 引理， k– 线性空间 m/m² 的一组基在 m 中的原像构成了 m 的一组生成元，由此推出 m 必为主理想，无妨设 m＝(x)

任取 (0) ⊊ l ⊊ A 为理想，下面证明 l 是主理想；首先 l ⊂ m ，根据 Artin 局部环的性质有 m 幂零，于是必存在一个正整数 r 满足 l ⊂ mʳ 而 l ⊈ mʳ⁺¹ ，所以存在 y∈l ， y＝αxʳ ，但 y ∉ mʳ⁺¹ ，其中 α ∈ A ，故 α ∉ (x)＝m ，也即 α 为单位，于是 xʳ＝α⁻¹y∈l ，由此推出 l＝mʳ＝(xʳ) 为主理想

最后来看一些例子

例5.4.7

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