Krull 维数和 Artin 环的结构 (4-2)

Pf.对 𝕹 ⊃ 𝕹² ⊃ · · · 使用降链条件可知，存在一个 k∈ℤ 使得 𝕹ᵏ＝𝕹ᵏ⁺¹＝· · ·＝：l.

如果 l ≠ 0 ，考虑

Σ：＝{J ⊂ l ideαl|lJ ≠ 0}，

则由 l²＝l ≠ 0 知 Σ ≠ ф；

根据降链条件可知 Σ 存在极小元，设为 C ≠ 0 ，则 Cl ≠ 0 ，我们证明 C 由一个元素生成

选取 0 ≠ x∈C ，使得 xl ≠ 0 ，则 (x) ∈ Σ ， (x) ⊂ C ，于是由 C 的极小性可知 C＝(x) ；

又因为 xl · l＝xl²＝xl ≠ 0 ，所以 xl ∈ Σ ，继续利用 C＝(x) 的极小性可知 xl＝(x) ，故存在 y∈l 使得 xy＝x ，进而对任一 m ∈ ℤ＞₀ 有 x＝xyᵐ ；但 y∈l＝𝕹ᵏ ⊂ 𝕹 ，故 y 幂零，由此推出 x＝0 ，这与 x 的选取矛盾

接下来我们定义 Krull 维数

定义5.4.2 （Krull 维数）定义环 A 的 Krull 维数为

dim A：sup{n| n p₀ ⊊ · · · ⊊ pₙ}.

任一环A 的 Krull 维数 dim A 必满足 dim A ≥ 0 或 dim A＝∞ ；特别地，域的维数总是 0 ，整数环的维数是 1 ；域 k 上 n 元多项式环 k[X₁，· · ·，Xₙ] 的维数就是 n

dim A＝0 意味着 A 的所有素理想都是极大理想

以下的定理说明，Artin 环就是零维的 Noether 环

定理5.4.3 设 A 为环，则 A 为 Artin 环 ⇔ A 为 Noether 环，并且 dim A＝0

Pf.“ ⇒ ”命题5.4.1表明， A 的素理想均为极大理想，因此 dim A＝0 ；根据笔记（十）推论5.3.9，为了证明 A 是 Noether 环，只需证明存在 A 的一组素理想 m₁，· · ·，mɴ （可能重复），满足 m₁，· · ·，mɴ＝(0) ；设 SpecA＝{m₁，· · ·，mₙ}，

则根据 A 的幂零根是幂零的可知，存在一个充分大的 k ，使得

ₙ ₙ

∏ mᵏᵢ ⊂ (∩mᵢ)ᵏ＝𝕹ᵏ＝(0)，

ᵢ₌₁ ᵢ₌₁

ₙ

因此 ∏ mᵏᵢ＝0

ᵢ₌₁

“⇐”由 dim A＝0 可知， A 的所有素理想均为极大理想；利用 准素分解与诺特环（下）的推论2.6即有 A 中必存在一组素理想（极大理想） m₁，· · ·， mɴ （可能重复），其乘积为零，再利用推论5.3.9即可

下面考虑局部的情形

命题5.4.4 设 A 为 Noether 局部环， m ⊂ A 是极大理想，则以下条件恰有一个成立：

（1）对任意的n＞0 ， mⁿ ≠ mⁿ⁺¹ ；此种情形对应于 A 不为 Artin 环；

（2）存在一个n＞0 ，使得 mⁿ＝0 ；此种情形对应于 A 为 Artin 环

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