Krull 维数和 Artin 环的结构 (4-1)

引理 （Prime Avoidance Lemma）

（1）设p₁，· · ·，pₙ 为素理想， l ⊂ A 为理想，如果

ₙ

l ⊂ ∪pᵢ，

ᵢ₌₁

则必存在一个 1 ≤ i ≤ n 使得 l ⊂ pᵢ ；

（2）设l₁，· · ·，lₙ ⊂ A 为理想， p 为素理想，如果

ₙ

∩lᵢ ⊂ p，

ᵢ₌₁

则必存在一个 1 ≤ i ≤ n 使得 lᵢ ⊂ p ；

特别地，可将（1）和（2）的“⊂ ”改为“ ＝ ”

定理 （中国剩余定理，CRT）设 l₁，· · ·，lₙ ⊂ A 是理想，环同态

ф：A → A/l₁ × · · · × A/lₙ

x↦(x＋l₁，· · ·，x＋lₙ)

（1）如果对任意的i ≠ j 有 lᵢ 和 lⱼ 互素，即 lᵢ＋lⱼ＝(1)＝A ，则 l₁ · · · lₙ＝l₁∩· · ·∩lₙ ；、（2）Kerф＝l₁∩· · ·∩lₙ ，进而 ф 为单射 ⇔ l₁∩· · ·∩lₙ＝(0) ；

（3）ф 为满射 ⇔ 对任意的 i ≠ j 有 lᵢ 和 lⱼ 互素 ⇔ A/l₁∩· · ·∩lₙ ≃ A/l₁ × · · · × A/lₙ.

5.4 Artin 环

在前面的章节中我们证明了，一个模同时是 Noether 模和 Artin 模，当且仅当它具有有限长度，即有一个合成列；和模相比，环还有乘法的结构，这就导致 Artin 环的更多特殊性质，本节我们将介绍这些性质，并定义环的 Krull 维数，最后用 Krull 维数给出 Artin 环的结构定理

命题5.4.1 设 A 为 Artin 环

（1）A 的每个素理想均为极大理想；

Pf. 设 p ⊂ A 是素理想，则商环 B＝A/p 是 Artin 整环，我们证明 B 为域

任取 0 ≠ x∈B ，考虑降链

(x) ⊃ (x²) ⊃ · · ·，

根据 Artin 环性质可知，存在 n ∈ ℤ 使得 (xⁿ)＝(xⁿ⁺¹) ，于是存在 y∈B 使得 xⁿ＝xⁿ⁺¹y ，利用整环的消去律即有 1＝xy ，因此 x 可逆

（2）素谱SpecA 是有限集；

Pf.考虑集合 Σ：＝{m₁∩· · ·∩mᵣ|mᵢ ∈ SpecA}，根据降链条件知 Σ 存在极小元，记为 m₁∩· · ·∩mₙ ，则对任一素理想 m ，必有

m∩m₁∩· · ·∩mₙ＝m₁∩· · ·∩mₙ，

即 m₁∩· · ·∩mₙ ⊂ m ；利用 Prime avoidance 引理可知，存在 1 ≤ i ≤ n 使得 m＝mᵢ ，根据极大理想性质即有 m＝mᵢ

（3）A 的幂零根 𝕹 是幂零的；

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