一般形式 Maschke 定理证明 (2-1)

Maschke 定理的一种证明，作为 有限群表示论（二）Maschke 定理 的补充

定理 设 G 为有限群，域 F 的特征 p 不整除 G 的阶数 |G| ， V 是域 F 上的一个 G– 模；设 U 是 V 的一个 G– 真子模，则存在 G– 子模 W 使得 V＝U ⨁ W 为 G– 模的直和

首先，对给定的G– 子模 U ，总是存在线性子空间的直和补，设为 Z ，则 V＝U ⨁ Z 是线性空间的直和，我们希望对 Z 作一些适当的变换得到一个新的空间 W ，使得 W 是 V 的 G– 子模

对z ∈ Z 和 g ∈ G ，我们有唯一的分解

gz＝z₁＋z₂，

z₁ ∈ U，z₂ ∈ Z，

定义投影映射τg：Z → U 和 σg：Z → Z 为 τgz＝z₁，σgz＝z₂，由于 g 给出 V 上的线性变换，我们知道 τg，σg 也皆是线性的，且有关系式

gz＝τgz＋σgz，(M1)

对任一z∈Z ，有 z＝1 · z＝τ₁z＋σ₁z ，而 τ₁ z ∈ U，于是 τ₁z＝0 ， σ₁z＝z ；利用(M1) 式，对任意的 g，h ∈ G 和 z ∈ Z ，我们有 τhgz＋σhgz＝(hg)z＝h(gz)

＝h(τgz＋σgz)

＝hτgz＋hσgz

＝hτgz＋τhσgz＋σhσgz，(M2)

而 hτgz∈hU＝U ， τhσgz∈U ， σhσgz∈Z ，所以比较等式 (M2) 两边可得 τhgz＝hτgz＋τhσgz，(M3)

σhgz＝σhσgz，(M4)

前面我们得出 σ₁：Z → Z 是 Z 上的恒等，代入 (M4) 式即有，对任一 z∈Z ， z＝σ₁z＝σgg⁻¹ z＝σgσg⁻¹ z，

z＝σ₁z＝σg⁻¹ gz＝σg⁻¹ σgz，(M4.1)

由此推出 σg⁻¹＝σg⁻¹ ；

于是对任意的g，h ∈ G 和 z∈Z ，有

(σhg)⁻¹(σh z)＝σ(hg)⁻¹ (σhz)＝σg⁻¹h⁻¹(σhz)

＝σg⁻¹σh⁻¹σhz

＝σg⁻¹ z∈Z.(M4.2)

在 (M3) 式中以 σg⁻¹ ᶻ 替换 z 得到

τhg(σ⁻¹hg σhz)＝τhg(σg⁻¹z)＝hτgσg⁻¹ z＋τh z∈U，(M4.3)

将 (M4.3) 式对所有的 g∈G 求和可得

∑ τhg(σ⁻¹hg σhz)＝h∑ τgσ⁻¹g z＋|G|τhz，

g∈G

结合 (M4.1) 知

∑ τhg(σ₍hg₎⁻¹ σhz)＝h∑ τgσg⁻¹ z＋|G|τhz，

g∈G g∈G (M5)

现在定义映射 η：Z → U 为

1

ηz：＝── ∑τg(σg⁻¹z) ∈ U，

|G| g∈G

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