Maschke 定理 (5-1)

1.3 Maschke 定理

本节我们主要研究有限群G上有限维 G 模的分解；既然是分解，自然需要“可约”和“不可约”的概念

定义1.3.1 设 V 是一个 G– 模， V 的一个G– 子模是指一个线性子空间 W ⊂ V 满足在 G 的作用下封闭，即 GW ⊂ W ，或者说对任一 g∈G 和任一 ω ∈ W 有 gω ∈ W ；我们也称 W 是一个 G– 不变的子模，记为 W ≤ V

显然{0}和 V 都是 V 的 G– 子模，称为 V 的平凡 G– 子模； G– 子模的概念和线性代数中不变子空间的概念高度接近，可以看作不变子空间这一概念的自然推广

（1）取G＝Sₙ ， V：＝ℂ{1，. . .，n} ，其中数字 1，· · ·，n 仅代表符号，不具有算术意义，则 W＝：ℂ{1＋· · ·＋n} 是 V 的一个一维 Sₙ – 子模；

根据上一节的知识我们知道V 对应的表示就是置换群 Sₙ 的典型表示，记为 X：Sₙ → GL(V) ； X 限制在 Sₙ – 子模 W 上可以得到一个子表示 X|ᴡ：W → GL(W) ，由于元素 1＋· · ·＋n 在 Sₙ 作用下保持不变，子表示 X|ᴡ 是平凡表示，然而当 n ≥ 2 时 W 显然并不是平凡的 Sₙ 子模；

（2）设群G＝{g₁，· · ·，gₙ} ，考虑 G 的正则表示，它生成了一个群代数 ℂ[G]＝{c₁g₁＋· · ·＋cₙgₙ|cᵢ ∈ ℂ} ，置 W：＝ℂ[g₁＋· · ·＋gₙ] ，则 W 是 ℂ[G] 的一维子空间，进一步由 g(g₁＋· · ·＋gₙ)＝g₁＋· · ·＋gₙ，g ∈ G可知 W 是正则表示下的 G– 子模；

（3）考虑Sₙ 的正则表示，它生成群代数 ℂ[Sₙ] ，置

W＝ℂ[∑ sgn(σ)σ].

σ∈Sₙ

对任一 π∈Sₙ ，有

π(∑ sgn(σ)σ)＝∑ sgn(σ)πσ＝sgn(π)∑sgn(σ)σ,

σ∈Sₙ σ∈Sₙ σ∈Sₙ

所以 Sₙ 的正则表示限制在 W 上得到的子表示就是 Sₙ 的符号表示

（reducible），如果 V 包含一个非平凡的 G– 子模，否则称 V 是不可约的（irreducible）；由于 G– 模总是和 G 的线性表示 X：G → GL(V) 一一对应，我们称 X 是可约表示（/不可约表示），如果 V 是可约的（/不可约的）

我们很容易验证：假设V 有限维，则 V 可约意味着存在 V 的一组基 β ，使得对每个 g∈G ， X(g) 均有以下形式

A(g) B(g)

X(g)＝( )，(✶)

0 C(g)

其中每个 A(g) 具有相同的阶数；反之也成立

我们看几个例子：

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