一般形式 Maschke 定理证明 (2-2)

则 η 是线性的；注意这里必须有 p 不整除 |G| 才能作除法

对固定的h∈G ，当 g∈G 跑遍 G 中元素时， hg 也跑遍 G 中元素，所以 (M5) 式等价于

η(σhz)＝h(ηz)＋τhz.(M6)

置W：＝{z＋ηz|z∈Z} ，我们断言， W 即为所求的 G– 子模

首先W 是线性映射 z↦z＋ηz 的像集，故必为 V 的线性子空间；

对任一ω∈W ，设 ω＝zω＋ηzω，zω ∈ Z ，则对任一 h∈G ，由 (M6) 可得

hω＝h(zω＋ηzω)＝hzω＋h(ηzω)

＝τh zω＋σh zω＋(ησhzω – τh zω)

＝σh zω＋ησh zω ∈ W，

因此 W 为 G– 子模；

对任一υ∈V＝U ⨁ Z ，存在唯一的 uυ ∈ U 和 zυ ∈ Z 使得 υ＝uυ＋zυ ，于是 υ＝uυ＋zυ＝(uυ – ηzυ)＋(ηzυ＋zυ)，

而 uυ – ηzυ∈U，ηzυ＋zυ∈W ，故 V＝U＋W；

最后取u＝z＋ηz ∈ U ∩ W ，其中 z ∈ Z ，则由 ηz ∈ U 知 z＝u – ηz ∈ U ，故 z∈U∩Z＝{0} ，这就推出 u＝0 ，即 U∩W＝{0} ；

综上，我们证明了V＝U ⨁ W 是 G– 子模的直和

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