Baire范畴定理 (10-9)

B₁ 是Banach空间. 假设 T 是满射, 那么若我们将 T 看成是从

─

B₁ 到 B₂ 的映射，则 T 满足推论(12)的条件， 因此 T 的逆映射 T⁻¹：B₂

─

→ B₁ 是连续的，这又意味着 T⁻¹：B₂ → B₁ 是连续的. 这样的话我们可以证明 L¹-范数和 sup-范数是等价的，但这是不可能的，因为 B₁ 不是完备的而

─

B₁ 是完备的，矛盾.

4. 闭图像定理

定义4. 设 X，Y 为赋范空间，T：X → Y 为线性算子. 如果 T 的图像

Gᴛ＝{(x，Tx)∈X × Y：x∈X}

在 X × Y 中为闭集, 则称 T 为闭算子.

定理15 (闭图像定理). 设 X，Y 为Banach空间. 若 T：X → Y 为闭线性算子，则 T 是有界的.

证明. 对空间 X × Y 赋予范数 ‖(x，y)‖x×ʏ＝‖x‖x＋‖y‖ʏ，那么容易证明 X × Y 是Banach空间. 由于 Gᴛ 是它的闭子集, 因此也是Banach空间. 考虑投影 Px：G(T) → X，(x，Tx)↦x 和 Pʏ：G(T) → Y，(x，Tx)↦Tx，易证它们都是有界线性算子. 此外 Px 是满射, 因此根据推论(12), 它的逆 P⁻¹x 是有界线性算子. 由于 T＝Pʏ◦P⁻¹x，因此 T 是有界的.

4.1. 关于 Lᵖ 的闭子空间的Grothendieck定理

定理16. 设 (X，F，μ) 是一个有限测度空间，即 μ(X)＜∞. 假设

(i) E 是 Lᵖ(X，μ) 的闭子空间，其中 1 ≤ p＜∞，并且

(ii) E 包含于 L∞(X，μ) 中.

则 E 是有限维的.

证明. 由于 E∈L∞ 并且 X 具有有限测度, 我们发现 E⊂L² 并且

‖f‖ʟ² ≤ C‖f‖ʟ∞，∀f∈E.

定理证明的关键在于反向不等式的证明, 然后利用 L² 的Hilbert空间结构.

赋予 Lᵖ-范数后 E 构成一个Banach空间, 因为它是 Lᵖ(X，μ) 的闭子空间. 令

I：E↦L∞(X，μ)

表示恒等映射 I(f)＝f. 那么 E 是线性的并且是闭的. 事实上, 假设在 E 中 fₙ → f 以及在 L∞ 中 fₙ → g. 那么存在 {fₙ} 的子列几乎处处收敛到 f，因此 f＝g 几乎处处成立, 如所求. 根据闭图像定理, 存在 M＞0 使得

‖f‖ʟ∞ ≤ M‖f‖ʟᵖ，∀f∈E. (5)

引理17. 在定理的条件下, 存在 A＞0 使得

‖f‖ʟ∞ ≤ A‖f‖ʟ²，∀f∈E.

证明. 若 1 ≤ p ≤ 2，则Hölder不等式带共轭指数 r＝2/p 和 r*＝2/(2 – p) 产生

2–p

∫|f|ᵖ ≤ (∫|f|²)ᵖ/²(∫1) ──.

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