Baire范畴定理 (10-8)

T(Bₓ(1))⊃Bʏ(ε/2). (4)

对于任意 y∈Bʏ(ε/2)，利用(3)式，其中 k＝1，可以选取一点 x∈Bₓ(1/2) 使得 y – Tx₁ ∈By(ε/2²). 再次利用(3)，其中 k＝2，可以选取一点 x₂∈Bₓ(1/2²) 使得 y – Tx₁ – Tx₂ ∈Bʏ(ε/2³). 重复这一过程，我们得到一列点 {x₁，x₂，⋯} 满足 ‖xₖ‖＜1/2ᵏ. 由于 X 是完备的, 和 x₁＋x₂＋⋯ 收敛到一点 x∈X 并且 ‖x‖＜∑∞ₖ₌₁ 1/2ᵏ＝1. 此外，由于

y – Tx₁ – ⋯ – Txₖ∈Bʏ(ε/2ᵏ⁺¹)，

并且 T 是连续的, 我们发现 Tx＝y. 这意味着(4)成立，即 T(Bₓ(1)) 包含一个中心位于原点的开球.

推论12. 设 X，Y 为Banach空间，若 T∈B(X，Y) 为一一映射，则 T 的逆 T⁻¹：Y → X 也是有界线性算子，即 T⁻¹∈B(Y，X).

推论13. 假设 X 是一个线性空间, ‖ ⋅ ‖₁ 和 ‖ ⋅ ‖₂ 是 X 上的范数，且 (X，‖ ⋅ ‖) 和 (X，‖ ⋅ ‖₂) 都为Banach空间. 若存在常数 α＞0 使得

‖x‖₁ ≤ α‖x‖₂，x∈X，

则存在 β＞0 使得

‖x‖₂ ≤ β‖x‖₁，x∈X.

也就是说 ‖ ⋅ ‖₁ 和 ‖ ⋅ ‖₂ 为等价范数.

3.1 L¹-函数傅里叶系数的衰减

回到2.1小节讨论的傅里叶级数问题. 回顾Riemann-Lebesgue引理，它断言若 f∈L¹[–π，π]，则

lim|ₙ|→∞|ˆf(n)|＝0，

其中 ˆf(n) 表示 f 的第 n 个傅里叶系数. 一个自然的问题是：给定任意一列在无穷远处退化的复数 {αₙ}ₙ∈ℤ，即当 n → ∞ 时 |αₙ| → 0，是否存在函数 f∈L¹[–π，π] 使得 ˆf(n)＝αₙ 对所有 n 成立?

为了用Banach空间的语言叙述这一问题, 我们用 B₁＝L¹[–π，π] 表示 [–π，π] 上的全体连续函数赋予 L¹ 范数后形成的赋范空间，并用 B₂ 表示全体满足当 n → ∞ 时 |αₙ| → 0 的复数列 {αₙ} 构成的向量空间. 对 B₂ 赋予通常的 sup-范数 ‖{αₙ}‖∞＝sup ₙ∈ℤ|αₙ|，那么 B₂ 显然是一个Banach空间.

我们问，由

T(f)＝{ˆf(n)}ₙ∈ℤ

定义的映射 T：B₁↦B₂ 是否满射.

回答是否定的.

定理14. 由 T(f)＝{ˆf(n)} 给定的映射 T：B1，₁↦B₂ 是线性的、连续的并且是单射, 但不是满射. 因此, 存在在无穷远处退化的复数列，它不是 L¹-函数的傅里叶系数.

证明. 首先 T 显然是线性的, 并且也是连续的, 因为 ‖T(f)‖∞ ≤ ‖f‖ʟ¹. 此外，T 是满射. 因为 T(f)＝0 意味着 ˆf(n)＝0 对所有 n 成立，而这又意味着 f＝0.

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设 B₁ 是 [–π，π] 上全体连续函数赋予 sup-范数后形成的赋范空间，那么

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