Baire范畴定理 (10-10)

由于 X 具有有限测度, 对上式开 p 次方我们发现, 存在 B＞0 使得 ‖f‖ʟᵖ ≤ B‖f‖ʟ² 对所有 f∈E 成立. 结合(5)就证明了 1 ≤ p ≤ 2 的情形.

当 2＜p＜∞ 时, 我们首先注意到 |f(x)|ᵖ ≤ ‖f‖ ᵖ⁻²ʟ∞|f(x)|². 积分这一不等式得到

‖f‖ᵖʟᵖ ≤ ‖f‖ᵖ⁻²ʟ∞‖f‖²ʟ².

现在，若我们利用(5)并假设 ‖f‖ʟ∞ ≠ 0 我们发现, 对于某个 A＞0 有 ‖f‖ʟ∞ ≤ A‖f‖ʟ² 对所有 f∈E 成立，这就完成了引理的证明.

现在我们回到定理16的证明. 假设 f₁，⋯，fₙ 是 E 的一组在 L² 中标准正交的函数, 并令 𝔹 表示 𝕂ⁿ 中的单位球，

𝔹＝{ζ＝(ζ₁，⋯，ζₙ)∈𝕂ⁿ：∑ⁿⱼ₌₁|ζⱼ|² ≤ 1}.

对每一个 ζ∈𝔹，令 fζ(x)＝∑ⁿⱼ₌₁ ζⱼfⱼ(x). 根据构造我们有 ‖fζ‖ʟ² ≤ 1，并且引理表明 ‖fζ‖ʟ∞ ≤ A. 于是对每一个 ζ，存在 X 中的一个满测度的可测集 Xζ (即 μ(Xζ)＝μ(X))，使得

|fζ(x)| ≤ A，∀x∈Xζ. (6)

通过先在 𝔹 中选取一个可数稠密点集，然后利用映射 ζ↦fζ 的连续性, 我们看到(6)意味着

|fζ(x)|≤A，∀x∈X′以及ζ∈𝔹，(7)

其中 X′ 是 X 中具有满测度的集合. 从这，我们断言

∑ⁿⱼ₌₁|fⱼ(x)|² ≤ A²，∀x∈X′. (8)

事实上，只要证明左边不等于零时不等式成立即可. 此时, 若我们令 σ＝(∑ⁿⱼ₌₁|fⱼ(x)|²)¹/²，并设

───

ζⱼ＝fⱼ(x)/σ，则由(7)我们发现对所有 x∈X′

1

─ ∑ⁿⱼ₌₁|fⱼ(x)|² ≤ A，

σ

也就是 σ ≤ A，如我们的断言.

最后，积分(8)，并回忆 {f₁，⋯，fₙ} 是标准正交的, 我们发现 n ≤ A²，因此 E 的维数必然是有限的.

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