Baire范畴定理 (10-7)

定理8的第(ii)部分的证明是直接的. 事实上, 一致有界性原理的第(ii)部分结合我们刚刚的证明保证使得 sup ɴ|Sɴ(f)(0)|＜∞ 的连续函数 f 构成的集合是第一范畴的, 于是傅里叶级数在原点收敛的函数构成的集合也是第一范畴的. 因此傅里叶级数在原点发散的函数是普遍的. 同样地, 若 {x₁，x₂，⋯} 是任意一组可数的位于 [–π，π] 的点, 那么对每一个 j，由傅里叶级数在 xⱼ 处发散的连续函数构成的集合 Fⱼ 也是普遍的. 因此由傅里叶级数在每一点 x₁，x₂，⋯ 都发散的连续函数构成的集合 ∩∞ⱼ₌₁ Fₓⱼ 也是普遍的, 这就完成了定理的证明.

3. 开映射定理

定义3. 设 X，Y 为度量空间, T：X ↦ Y 为映射. 称 T 为开映射, 如果 T 将开集映为开集，即任取 G⊂X 为开集,

T(G)＝{Tx：x∈G}

为 Y 的开集.

定理11 (开映射定理). 设 X，Y 为Banach空间, 若 T∈B(X，Y) 为满射, 则 T 必为开映射.

证明. 分别记 Bₓ(x，r) 和 Bʏ(y，r) 为中心在 x∈X 和 y∈Y 半径为 r 的开球, 并将中心在原点的开球简记为 Bₓ(r) 和 Bʏ(r). 由于 T 是线性算子, 因此只需证明 T(Bₓ(1)) 包含一个中心在原点的开球即可.

首先, 我们证明一个弱一点的结论，即

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T(BX(1))包含一个中心在原点的开球. 为此, 注意到 T 是满射，我们有

Y＝⋃∞ₙ₌₁ T(Bₓ(n)).

由Baire范畴定理，T(Bₓ(n)) 不可能都是无处稠密的, 因此存在某个 n 使得

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T(Bₓ(n)) 包含内点. 注意到 T 是线性算子这一事实, 这意味着对某个 y₀∈Y 以及 ϵ＞0 有

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T(Bₓ(1))⊃BY(y₀，ϵ).

根据闭包的定义, 我们可以选取一点 y₁＝T(x₁) 满足 ‖y₁ – y₀‖ʏ＜ϵ/2 并且 x₁∈Bₓ(1). 对于任意 y∈Bʏ(ϵ/2)，由

‖y – y₁ − y₀‖ ≤ ‖y‖＋‖y₁ − y₀‖＜ϵ

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得到 y – y₁∈Bʏ(y₀，ϵ)⊂T(Bₓ(1)). 因此存在 Bₓ(1) 中的序列 {zₙ} 使得 Tzₙ → y – y₁. 又由 ‖x₁＋zₙ‖＜2 可知 T(x₁＋zₙ)∈T(Bₓ(2)). 于是

lim ₙ → ∞ T(x₁＋zₙ)＝Tx₁＋lim ₙ → ∞ Tzₙ＝Tx₁＋y – y₁

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＝y∈Bₓ(2).

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也就是说，Bʏ(ϵ/2)⊂T(Bₓ(2)). 再次利用 T 是线性算子这一事实, 我们发现 Bʏ(ϵ/4)

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⊂T(Bₓ(1))，这就证明了弱一点的结论. 事实上, 若令 ε：＝ϵ/4 并利用 T 为线性算子这一事实，我们有

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T(Bₓ(2⁻ᵏ)) ⊃Bʏ(2⁻ᵏε). (3)

接下来我们证明

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