Baire范畴定理 (10-6)

现在，ℓɴ 对每一个 N 都是连续的，因为

1

|ℓɴ(f)|≤──

2π

∫π–π|f(–y)||Dɴ(y)|dy ≤ Lɴ‖f‖，

其中我们定义了

1

Lɴ＝──

2π

∫π–π|Dɴ(y)|dy.

事实上，线性泛函 ℓɴ 的范数恰好等于积分 Lɴ.

引理9. ‖ℓɴ‖＝Lɴ 对所有 N ≥ 0 成立.

证明. 从上文我们已经知道 ‖ℓɴ‖ ≤ Lɴ. 为证反向不等式，只需找到一列连续函数 {fₖ} 满足 ‖fₖ‖ ≤ 1 使得当 k → ∞ 时 ℓɴ(fₖ) → Lɴ. 为此, 首先令 g 表示当 Dɴ 为正时等于 1 当 Dɴ 为负时等于 –1 的函数. 那么 g 是可测的，‖g‖ ≤ 1，并且

1

Lɴ＝──

2π

∫π–πg(–y)Dɴ(y)dy，

其中我们用到了 Dɴ 是偶函数这一事实, 因此 g(y)＝g(–y). 显然, 显然存在一列函数 {fₖ} 满足 –1 ≤ fₖ ≤ 1 对所有 –π ≤ x ≤ π 成立，并使得当 k → ∞ 时，

∫π–π|fₖ(y) – g(y)|dy → 0.

结果，我们发现当 k → ∞ 时 ℓɴ(fₖ) → Lɴ，并且 ‖fₖ‖ ≤ 1，因此 ‖ℓɴ‖ ≥ Lɴ，如所求.

若我们能够证明当 N → ∞ 时 ℓɴ＝Lɴ 趋于无穷大, 那就完成了定理第(i)部分的证明. 这正是我们最后一个引理的内容.

引理10. 存在常数 c＞0 使得 Lɴ ≥ clog⁡ N .

证明. 由于 |sin⁡ y|/|y| ≤ 1 对所有 y 成立，并且 sin⁡ y 是奇函数，我们看到

|sin⁡(N＋1/2)y|

Lɴ ≥ c∫₀π ──────── dy

|y|

|sin⁡ x|

≥c∫₀⁽ᴺ⁺¹/²⁾π ──── dx

x

N–1 |sin⁡ x|

≥c∑ ∫ₖπ⁽ᵏ⁺¹⁾π ──── dx

k＝0 x

N–1 1

≥ c ∑ ──── ∫ₖπ⁽ᵏ⁺¹⁾π|sin⁡ x|dx.

k＝0 (k＋1)π

然而, 对所有 k 我们有 ∫ₖπ⁽ᵏ⁺¹⁾π|sin⁡ x|dx＝∫₀π |sin⁡ x|dx，于是

1

Lɴ ≥ c ∑ᴺ⁻¹ₖ₌₀ ─── ≥ clog⁡ N，

k＋1

这就是我们要证的.

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