Baire范畴定理 (10-5)

sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢxᵢ‖＝∞.

而如果应用一致有界性原理的逆否命题, 若 supᵢ∈ₗ‖Tᵢ‖＝∞, 则存在 x₀∈X，使得

sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢx₀‖＝∞.

x₀ 称为 (Tᵢ)ᵢ∈ₗ 的共鸣点. 即可以将以上的 xᵢ 取为同一个点 x₀，因此上述一致有界性原理也称为共鸣定理.

2.1. 傅里叶级数的发散

现在我们考虑其傅里叶级数在某点发散的连续函数的存在性问题.

设 B＝C[–π，π] 是 [–π，π] 上全体连续复值函数赋予 sup-范数 ‖f‖＝supₓ∈[–π，π] |f(x)| 后构成的Banach空间. f∈B 的傅里叶系数定义为

1

αₙ=ˆf(n)＝─ ∫π–π f(x)eⁱⁿˣ dx，∀n∈ℤ，

2π

f 的傅里叶级数为

f(x) ∼ ∑∞ₙ₌₋∞ αₙeⁱⁿˣ.

此外，该级数的第 N 个部分和定义为

Sɴ(f)(x)＝∑ᴺₙ₌₋ɴ αₙeⁱⁿˣ.

利用卷积可以将上面的部分和写成更优雅的形式, 即

Sɴ(f)(x)＝(f ∗ Dɴ)(x)，

其中

Dɴ(x)＝∑ᴺₙ₌₋ɴ eⁱⁿˣ

sin⁡[(N＋1/2)x]

＝──────

sin⁡(x/2)

是Derichlet核，并且

1

(f∗g)(x)＝──

2π

1

∫π–π f(y)g(x – y)dy＝──

2π

∫π–π f(x – y)g(y)dy

是圆周上的卷积.

定理8. 设 B 是 [–π，π] 上全体连续函数赋予 sup-范数后形成的Banach空间.

(i) 对于任意的给定点 x₀∈[–π，π]，存在连续函数使得它的傅里叶级数在 x₀ 点发散.

(ii) 事实上，傅里叶级数在 [–π，π] 的一个稠密子集上发散的连续函数构成 B 的泛型子集.

证明. 我们先证明(i). 不失一般性，假设 x₀＝0. 令 ℓɴ 表示由

1

ℓɴ(f)＝Sɴ(f)(0)＝──

2π

∫π–π f(–y)Dɴ(y)dy

定义在 B 上的线性泛函. 若(i)不为真，则 supɴ|ℓɴ(f)|＜∞ 对每一个 f∈B 成立. 此外, 若我们能够证明每一个 ℓɴ 都是连续的, 那么一致有界性原理就意味着 supɴ‖ℓɴ‖＜∞. 这样的话， 只要我们能够说明每一个 ℓɴ 都是连续的但当 N 趋于无穷时 ‖ℓ‖ → ∞ 就完成了(i)的证明.

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