Baire范畴定理 (10-4)

证明. 对于任意 f∈C[0，1] 以及 ε＞0, 定义函数 f⁺＝f＋ε 以及 f⁻＝f – ε. 对 n ≥ 1 构造 [0，1] 的一个剖分

1 n–1

0＜──＜⋯＜──＜1，

n n

定义分段线性函数 gₙ 在这些节点处的值为

j j

gn(─)＝f(─)＋(–1)ʲε，0 ≤ j ≤ n.

n n

由于

gₙ(j/n)–gₙ((j–1)/n)

─────────＝(–1)ʲ2nε，

1/n

因此只要 n 足够大, 就有 gₙ∈ Pᴍ. 并且当 n 足够大时, 我们可以证明 f⁻ ≤ gₙ ≤ f⁺，即 sup x∈[0，1]|gₙ – f| ≤ ε. 这就证明了Pᴍ 在 C[0，1] 中稠密.

从引理我们立即得出 Eɴ 没有内点. 事实上, 对于任意给定的 f∈Eɴ 以及 ε＞0 , 我们首先选定一固定的 M ≥ N. 那么, 存在 h∈P(M)使得‖f – h‖＜ε 此外由于 M＞N，故 h ∉ Eɴ. 因此, 任意围绕 f 的开球都不可能完全包含于 Eɴ 这就是要证的结论.

2. 一致有界性原理

定理7 (一致有界性原理]). 设 X 为Banach空间, Y 为赋范空间，(Tᵢ)ᵢ∈ₗ ⊂ B(X，Y)，I 为指标集.

(i) 若

sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢx‖＜∞ (2)

对所有 x∈X 成立, 则 sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢ‖＜∞.

(ii) 若(2)式仅对 X 的某个第二范畴子集中的所有 x 成立, 则结论依然成立.

证明. 只需证明(ii)即可. 假设(2)式对所有 x∈M 成立, 其中 M 是 X 的一个第二范畴子集. 对每一个正整数 n 定义集合

Mₙ＝{x∈X：sup ᵢ∈ₗ ‖Tᵢx‖ ≤ n}，

那么假设条件意味着 M＝∪∞ₙ₌₁ Mₙ. 由于 M 是第二范畴的并且每一个 Mₙ 都是闭集，因此 Mₙ 不可能全是无处稠密的. 也就是说，存在 Mₙ 使得它包含某个球 B(x₀，r)，于是 sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢx‖ ≤ n 对所有 x∈B(x₀，r) 成立. 对于任意 x∈B(0，r)，由于

‖Tᵢx‖ ≤ ‖Tᵢ(x＋x₀)‖＋‖Tᵢ(–x₀)‖ ≤ 2n，

因此 sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢx‖ ≤ 2n 对所有 x∈B(0，r) 成立. 这就意味着定理的结论成立.

若 X 为Banach空间, Y 为赋范空间，设 (Tᵢ)ᵢ∈ₗ ⊂ B(X，Y) 满足

sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢ‖＝∞.

由有界线性算子范数的定义, 任取 i∈I，存在 xᵢ∈X，‖xᵢ‖＝1，使得 ‖Tᵢxᵢ‖ ≥ 1

──

2

‖Ti‖. 因此有

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