Baire范畴定理 (10-3)

sup |f(y) – f(z)| ≤ sup |f(y) – fₘ(y)|

y，z∈B₀ y，z∈B₀

＋|fₘ(y) – fₘ(z)|＋|fₘ(z) – f(z)|＜1/n.

也就是说 B₀⊂E₁/ₙ. 特别地 Bₓ(ε)∩E₁/ₙ 不为空集. 这就证明了 E₁/ₙ 是稠密的.

1.2. 无处可微的连续函数

定理5. C[0，1] 中的无处可微函数构成的集合是泛型子集.

证明. 我们必须证明 [0，1] 上那些至少有一个可微点的函数构成的集合 D 是第一范畴的. 为此, 令 Eɴ 表示全体满足存在 0 ≤ x∗ ≤ 1 使得

|f(x) – f(x∗)| ≤ N|x – x∗|，∀x∈[0，1]

的连续函数构成的集合. 这个集合与 D 通过下面的包含关系联系起来

D⊂⋃∞ɴ₌₁ Eɴ.

为了证明定理, 只需证明对每一个 N，集合 Eɴ 是无处稠密的. 这又可以通过证明以下两点来完成

(i) Eɴ 是闭集.

(ii) Eɴ 的内部为空集.

这样的话 ∪Eɴ 是第一范畴的，从而 D 也是第一范畴的.

性质(i)的证明. 设 {fₙ} 是 Eₙ 中的序列满足 fₙ → f∈C[0，1]. 那么对于每一个 n ≥ 1，存在 0 ≤ x∗ₙ ≤ 1 使得

|fₙ(x) – fₙ(x∗ₙ)| ≤ N|x – x∗|，∀x∈[0，1].

由于 [0，1] 是紧集, 因此序列 {x∗ₙ} 有收敛子列，不妨假设它自身收敛, 即存在 x∗∈[0，1] 使得 x∗ₙ → x∗. 那么，对于任意 ε＞0，当 n 足够大时有

|f(x) – f(x∗)| ≤ |f(x) – fₙ(x)|＋|fₙ(x) – fₙ(x∗ₙ)|＋

|fₙ(x∗ₙ) – f(x∗ₙ)|＋|f(x∗ₙ) – f(x∗)

ε ε ε

| ≤ ──＋N|x – x∗ₙ|＋──＋──

4 4 4

≤ N|x – x∗|＋N|x∗ – x∗ₙ|

3ε

＋──

4

≤ N|x – x∗|＋ε.

对所有 x∈[0，1] 成立. 由 ε 的任意性可知

|f(x) – f(x∗)| ≤ N|x – x∗| 对所有 x∈[0，1] 成立. 这就证明了 Eɴ 是闭集.

性质(ii)的证明. 为证 Eɴ 没有内点，令 P 表示 C[0，1] 中全体分段线性函数构成的集合. 并且, 对每一个 M＞0，令 Pᴍ ⊂ P 表示线段的斜率要么 ≥ M 要么 ≤ – M 的分段线性函数构成的集合. Pᴍ 中的函数自然地称作z-型函数. 需要注意的关键点是，当 M＞N 时 Pᴍ 与 Eɴ 不相交.

引理6. 对每一个 M＞0，z-型函数集合 Pᴍ 在 C[0，1] 中稠密.

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