Baire范畴定理 (10-2)

lim ₙ → ∞ fₙ(x)＝f(x)

对每一个 x∈X 存在. 那么，X 中使得 f 连续的点构成 X 的泛型子集. 换言之，f 的不连续点构成的集合是第一范畴的.

为了证明 f 的不连续点集是第一范畴的, 我们用 f 的振荡来刻画它的连续点. 更准确地说, 我们定义函数 f 在点 x 处的振荡为

osc(f)(x)＝lim ᵣ → ₀ ω(f)(r，x)，其中ω(f)(r，x)＝sup y，z∈Bᵣ(x)|f(y) – f(z)|.

该极限存在, 因为量 ω(f)(r，x) 是 r 的递减函数. 特别地, 我们发现若存在一个以 x 为中心的球 B，使得 |f(y) – f(z)|＜ϵ 对所有 y，z∈B 成立，那么 osc(f)(x)＜ϵ. 此外, 我们还发现：

(i) osc(f)(x)＝0 当且仅当 f 在 x 点连续.

(ii) 集合 Eϵ＝{x∈X：osc(f)(x)＜ϵ} 是开集.

性质(i)直接由连续性的定义得到. 对于(ii)，我们注意到若 x∈Eϵ, 则存在 r＞0 使得 sup y，z ∈Bᵣ/₂(x)|f(y) – f(z)|＜ϵ.

于是，若 x∗ ∈ Bᵣ/₂(x)，则 x∗∈Eϵ，因为

sup y，z∈Bᵣ/₂(x∗)|f(y) – f(z)| ≤ sup y，z∈Bᵣ (x)|f(y) – f(z)|＜ϵ.

引理4. 假设 {fₙ} 是完备度量空间 X 上的一列连续函数, 并且当 n → ∞ 时 fₙ(x)→f(x). 那么, 给定一个开球 B ⊂ X 以及 ϵ＞0, 存在开球 B₀ ⊂ B 以及整数 m ≥ 1 使得 |fₘ(x) – f(x)| ≤ ϵ 对所有 x∈B₀ 成立.

证明. 设 Y 是一个包含于 B 的闭球, 那么 Y 完备的. 定义

Eℓ＝{x∈Y：sup ⱼ，ₖ ≥ ℓ |fⱼ(x) – fₖ(x)| ≤ ϵ}，

那么, 由于 fₙ(x) 对每一个 x 都收敛, 我们有

Y＝⋃∞ℓ₌₁ Eℓ.

此外, 每一个 Eℓ 都是闭集, 因为它是形如 {x∈Y：|fⱼ(x) – fₖ(x)| ≤ ϵ} 的集合的交, 而根据 fj 和 fk 的连续性, 这样的集合都是闭集. 于是，根据Baire范畴定理，必然有某个 Eₘ 包含一个开球 B₀. 根据构造

sup ⱼ，ₖ ≥ m |fⱼ(x) – fₖ(x)| ≤ ϵ，∀x∈B₀.

令 k 趋于无穷大我们发现 |fₘ(x) – f(x)| ≤ ϵ 对所有 x∈B₀ 成立. 这就证明了引理.

证明 (定理3的证明). 设 f 的不连续点构成的集合为 D，那么根据集合 osc(f)(x) 的性质(i)可知

D＝⋃∞ₙ₌₁ Eᶜ₁/ₙ，

其中 Eᶜ₁/ₙ＝{x∈X：osc(f)(x) ≥ 1/n}. 因此为证 D 是第一范畴的, 只需证明每一个 Eᶜ₁/ₙ 都是无处稠密集即可. 或者等价地, 只需证明每一个 E₁/ₙ 都是稠密子集即可. 对于任意 x∈X 以及 ε＞0，根据上一引理，存在开球 B₀⊂Bₓ(ε) 以及整数 m ≥ 1 使得 |fₘ(x) – f(x)|＜1/3n. 于是

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