数学联邦政治世界观
超小超大

范畴论基础(Grothendieck宇宙)

定义 集合 ∪ 称为宇宙,如果满足以下性质

1.u∈∪⇒u⊂∪,即:∪是传递集;

2.u,υ∈∪⇒{u,υ}∈∪

3.u∈∪⇒P(u)∈∪

4.若 l ∈ ∪ , 一族集合 {uᵢ:i∈l}满足 ∀i,uᵢ ∈∪, 则 ∪uᵢ ∈ ∪

i∈l

5.ℤ≥₀∈∪.

对于集合Ⅹ,若 X∈∪ 则称为 ∪ -集;若 X 和一个 ∪ -集等势,则称为 ∪ -小集.

注 上述表述如果用更通俗的语言来表达, 可以理解为满足以下性质的集合 ∪ 称为宇宙:

1. ∪ 中的元素都是集合且是 ∪ 的子集

2. ∪ 中有限个元素构成的集合是 ∪ 的元素

3. ∪ 中元素的幂集是 ∪ 的元素

4. ∪ 中元素的任意并(指标需要也是 ∪ 中元素)都是 ∪ 的元素

5. ℤ≥₀ 是 ∪ 的元素

并且∪ 中元素可以简称为 ∪ -集.

假设 (A. Grothendieck) 对任何集合 X,存在宇宙 ∪ 使得 X∈∪ .

本着得过且过的原则, Grothendieck 宇宙就介绍到这里.

定义 一个范畴 C 称作是 ∪ -范畴,如果对任意对象 X,Y,从 X 到 Y 的态射 Homᴄ(X,Y) 都是 ∪ -小集. 如果态射集 Mor(C) 也是 ∪ -小集, 则称之为 ∪ -小范畴.

注 一个范畴 C 是不是 ∪ -范畴,主要看它的态射集 Mor(C) .

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