Maschke 定理 (5-3)

推论1.3.5 设 X 为 V 的任一线性子空间，则存在 V 的线性子空间 Y 使得 V＝X ⨁ Y 为线性子空间的直和

Pf.在定理1.3.4中取 l 为 X 的一组基， S＝V ，则存在 V 的一组基 β 满足 l ⊂ β ；设 Y 是由 β\l 生成的线性子空间，则 V＝X ⨁ Y

现在要对任一G– 子模 W ⊂ V ，找到 W 在 V 中的 G– 子模直和补

定理1.3.6 （Maschke 定理一般形式）设 G 为有限群，域 F 的特征 p 不整除 |G| ， V 是域 F 上的一个 G– 模；设 U 是 V 的一个 G– 真子模，则必存在 G– 子模 W 使得 V＝U ⨁ W 是 G– 模的直和

定理的证明比较复杂，限于篇幅不在这里给出，详见 一般形式 Maschke 定理的证明

关于 Maschke 定理，我们作几点说明：

（1）首先域特征p 不整除 |G| ，或者说 |G| 在域 F 中不等于零，是必要的，读者可以验证以下的线性表示是可约但不是完全可约的：

设F 是特征 p＞0 的域， G 是由元素 x 生成的 p 阶循环群，线性表示 X：G → GL₂(F) 定义为

1 1

X(x)：＝( )

0 1

（2）如果基域满足特征p 不整除 |G| 的条件，则此时 Maschke 定理可叙述为：任一 G– 模（线性表示）都是完全可约的；

（3）特别地，任一有限群的（有限维）复矩阵表示必为完全可约

事实上（3）有基于复线性空间厄米特内积的更简单证明

定理1.3.7 （有限维复线性表示版本的 Maschke 定理）设 G 为有限群， V 是一个 ℂ 上的有限维 G– 模；设 U 是 V 的一个 G– 真子模，则存在 V 的 G– 子模 W 使得 V＝U ⨁ W 为 G– 子模的直和

Pf.证明的思路是利用厄米特内积构造出“正交”关系

任意取定 V 在 ℂ 上的一组基 e₁，· · ·eₙ ，对 υ，ω ∈ V ， υ＝α₁e₁＋· · ·＋αₙeₙ ， ω＝b₁e₁＋· · ·＋bₙeₙ ，定义 V 上的标准厄米特内积为

── ──

(υ，ω)：＝α₁b₁＋· · ·＋αₙbₙ，

基于此，我们定义 *：V × V → ℂ 为

1

υ * ω：── ∑(gυ，gω).

|G| g∈G

可以验证 * 也是 V 上的一个厄米特内积；

对任一 g∈G ，根据 * 的定义有

1

(gυ) * (gω)＝── ∑ (hgυ，hgω)

|G| h∈G

1

＝── ∑(hυ，hω)＝υ * ω，

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