Maschke 定理 (5-2)

（1）定义1.3.1下的例子说明，对应于Sₙ 典型表示的 Sₙ– 模 ℂ{1，· · ·，n} （ n ≥ 2 ）是可约的，有非平凡 Sₙ 子模 ℂ{1＋· · ·＋n} ；对应于群 G＝{g₁，· · ·，gₙ}正则表示的群代数 ℂ[G] （ |G| ≥ 2 ）也是可约的，有非平凡的 G– 子模ℂ[g₁＋· · ·＋gₙ] ；

（2）考虑S₃ 的典型表示 X：S₃ → CL(V) ，对应于 S₃– 模 V：＝ℂ{1，2，3} ，取 β＝{1＋2＋3，2，3} 为 V 的一组基，将表示具体写出就是

1 0 0 1 1 0

X(id)＝(0 1 0)，Ⅹ(12)＝(0 –1 0).

0 0 1 0 –0 1

1 0 1 1 0 0

X(13)＝(0 1 –1)，X(23) ＝(0 0 1)

0 0 –1 0 1 0

1 0 1 1 1 0

X(123)＝(0 0 –1)，X(132)＝(0 –1 1 )

0 1 –1 0 –1 0

我们总是希望将一个大空间分解为较小空间的（直）和，或者将大矩阵分解为较小的分块对角矩阵，换句话说就是希望(*) 式中的 B(g)＝0 ；更进一步，我们还希望这种“分解”能够继承大空间的一些性质，比如 G– 不变性，这便是 Maschke 定理的主要内容

定义1.3.3 称一个 G– 模 V 是线性子空间 Ⅹ 和 Y 的G– 模直和，如果 X 和 Y 均是 G– 子模，并且有线性空间的直和 V＝X ⨁ Y ；称 V 是完全可约的（completely reducible），如果 V 可以写成一族不可约 G– 子模的直和，相应也有一个线性表示完全可约的概念

显然不可约蕴含着完全可约

在线性代数的课程中我们学习过以下的结论

定理1.3.4 （替换引理）设 V 为任一非零的线性空间， l 是一个 V 线性无关子集（即任一 l 的有限子集均线性无关）， S ⊂ V 是 V 的一个生成集，满足 l ⊂ S ，则存在 V 的一组基 β 介于 l 和 S 之间，即 l ⊂ β ⊂ S

Pf考虑由所有满足 l ⊂ J ⊂ S 的线性无关子集 J ⊂ V 构成的类 A ，由 l ∈ A 知 A ≠ ф ；

任取 A 中的链（全序子集） {Jλ|λ∈∧} ，置 J：＝∪Jλ ，

λ∈∧

容易证明 J 是一个线性无关的子集，所以 J∈A 是链 {Jλ|λ∈∧} 的上界；

根据 Zorn 引理， A 有极大元，记为β ，可以验证极大性保证了 β 生成 V ，结合 β 线性无关可知 β 为 V 的一组基，并且 l ⊂ β ⊂ S

作为推论，任一子空间总是存在直和补

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