Maschke 定理 (5-4)

|G| h∈G

于是 g 是厄米特内积 * 下的酉变换；

现在定义

W：＝U⊥＝{υ ∈ V|υ * u＝0，∀u ∈ U}，

为 U 关于厄米特内积 * 的正交补空间，则有线性空间的直和分解 V＝U ⨁ W ；最后证明 W 是 G– 子模

任取 ω ∈ W ， g ∈ G ，以及 u ∈ U ，利用 U 的 G– 不变性我们有 (gω) * u＝ω * (g⁻¹u)＝0，因此 gω ∈ w ，这就证明了 W 的 G– 不变性

推论1.3.8 （复矩阵表示版本的 Maschke 定理）设 G 为有限群， X 是 G 的一个 d 维复矩阵表示，则存在一个固定的可逆矩阵 T ，使得对每个 g ∈ G ，有

Ⅹ⁽¹⁾(g)

TX(g)T⁻¹＝( · · · )，

X⁽ᵏ⁾(g)

其中每个 X⁽ⁱ⁾ 均是 G 的不可约复矩阵表示

Pf.设 V＝ℂᵈ 是对应于 X 的 G– 模，则对每个 g∈G 和 υ ∈ V 有 gυ＝X(g)υ，上式右边为矩阵的乘法；根据 Maschke 定理，有分解 V＝W⁽¹⁾ ⨁ · · · ⨁ W⁽ᵏ⁾，其中每个 W⁽ⁱ⁾ 均为不可约的 G– 子模，并且 dim W⁽ⁱ⁾＝dᵢ ；

分别取 W⁽¹⁾，· · ·，W⁽ᵏ⁾ 的有序基 β₁，· · ·，βₖ ，按顺序合成 V 的有序基 β ，则对每个 g∈G ， X(g) 在基 β 下的矩阵表示形如

X⁽¹⁾(g)

TX(g)T⁻¹＝( · · · )，

X⁽ᵏ⁾(g)

其中 X⁽ⁱ⁾ 是 X 限制在 W⁽ⁱ⁾ 上得到的子表示，所以是不可约的

最后作为例子我们分解置换群S₃ 的典型表示

设V＝ℂ{1，2，3} 是与典型表示等同的 S₃– 模，我们知道 ℂ{1＋2＋3} 是 V 的一个一维 S₃– 子模；定义 V 上的厄米特内积 (·，·)：V × V → ℂ 为 (υ，ω)：＝αˉx＋bˉy＋cˉz，其中 υ＝α · 1＋b · 2＋c · 3 ， ω＝x · 1＋y · 2＋z · 3 ；可以验证，对任一 σ ∈ S₃ ，有 (συ，σω)＝(υ，ω) ，即厄米特内积 (·，·) 是 S₃– 不变的；

于是我们很容易计算出ℂ{1＋2＋3} 的正交补空间 ℂ{1＋2＋3}⊥ 为 ℂ{1＋2＋3}⊥＝{α · 1＋b · 2＋c · 3|α＋b＋c＝0}

可以验证ℂ{1＋2＋3}⊥ 不存在一维的 S₃– 子模，故为不可约的；

取ℂ{1＋2＋3} 的基 1＋2＋3 以及 ℂ{1＋2＋3}⊥ 的基 2 – 1 ， 3 – 1 ，则 X 在 V 的有序基 1＋2＋3 ， 2 – 1 ， 3 – 1 下的矩阵表示为

1 1

X(id)＝( 1 0)，X(12)＝( –1 –1 )，

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