C(n)基数（二） (10-8)

命题7.5最小m-C（n）-E0基数不是（m+1）-C（n）-E0，对于所有m ≥ 1并且n ≥ 2。证明假设κ是最小的m-C（n）-E0基数，并假设j : Vδ → Vδ是初等的，其中crit（j）=κ且JM♀（κ）e C（n）对所有m♀≤m+1。那么，Vjm+1（κ）满足句子:ei eβeμ（I:vβ→vβ是初等的crit（I）=μˇμ《j（κ）ˇ1≤m◪≤mim♀（μ）= JM♀（κ））因为j、δ和κ见证了它，并且句子是σ2，参数为JM◪（κ），所以1≤m◪≤m .因此，通过元素性，以下等式在Vjm（κ）中成立:ei eβeμ（I:vβ→vβ是初等crit（I）=μ-μ《κ1≤m◪≤mim♀（μ）= JM♀-1（κ）其中j 0（κ）=κ。由于JM（κ）e C（n），它在V中也成立。但是如果μ见证了它，那么μ是m-C（n）-E0，这与κ的最小值相矛盾。п不难看出，κ是E0，由初等嵌入j Vδ Vδ证明，当且仅当κ是σ0初等嵌入k Vδ 1 Vδ 1的临界点，即它对带参数的有界公式保持真理。主要的一点是注意到j唯一地扩展到初等嵌入k V V通过让k（a）:=α《δj（a∩vα），对于所有⊆ Vδ（见【7]或[3]了解详情)。因此考虑原则Ei是很自然的，因为1 ≤ i ≤ ω（【7】），它们断言存在一个非平凡的σI初等嵌入j Vδ+1 Vδ+1，即j保持σI公式的真值，并带有参数。因此，Eω断言j完全初级的。E1和Eω在文献中也分别称为I2和I1（见【5]).观察到嵌入j Vδ 1Vδ 1是σI基本当且仅当它对Vδ的限制是σ1初等的。（回想一下，如果一个公式是秒，则它是σ1我我以i-多个交替的二阶量词开始的顺序公式，从一个存在量词开始，公式的其余部分只有一阶量词。）我们稍后将利用以下事实（民间传说）:对于每个i 1，公式j : Vδ → Vδ是σ1初等的在参数j和δ中，пI 1是否可以用Vδ 1表示，因为它等价于:对于每个A Vδ和每个σ1公式X1 X2...Xiψ（X1，...Xi，Y），其中ψ只有一阶量词，EX16X2...EXi（（vδ，e，X1...Xi，A）| =ψ（X1，...Xi一家）惟一可能是EX16X2...EXi（（vδ，e，X1...Xi，A，j）| =ψ（X1，...Xi j（A∩vα））。α<δ现在，唐纳德·马丁表明，对于I奇数，如果j : Vδ+1 → Vδ+1是σI初等的，那么它也是σI+1初等的（参见【7]).所以当我是偶数时，我们只需要考虑原则Ei。类似于E0的情况，我们称σI初等嵌入j的临界点为Vδ 1Vδ 1一个Ei基数。此外，如果j（κ）C（n），则我们称凯为红衣主教。更一般地说，如果JM♀（κ）c（n），代表所有1m♀m，那么我们说κ是一个m-C（n）-Ei基数。如果δC（n），那么我们说κ是ω-C（n）-Ei。（注意，由命题7.3，δC（n）当且仅当JM（κ）C（n）对所有m .）对于每个i ≤ ω和m，n ≥ 1，m-C（n）-Ei基数的存在性可以表示为σn+1陈述，即EδE j Eκ（j:vδ+1→vδ+1是σI初等ˇCr I t（j）=κˇ6 1≤m♀≤m（JM♀（κ）E C（n））。

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