C(n)基数（二） (10-6)

最后，我们将考虑称为Ei的非常强的大基数原则的C（n）基数形式，对于0 i ω（参见【7]).原则E0（在文献中也称为I3）（参见【5】，24）断言非平凡初等嵌入j Vδ Vδ的存在性，其中δ是极限序数。让我们称这种嵌入的临界点为E0基数。如果j Vδ Vδ证明κ是E0，那么Kunen定理暗示δsup jm（κ）mω，其中JM是j的第m个迭代。由此得出δC（1），因为所有JM（κ）都是不可达的基数（实际上是可测基数），因此它们都属于C（1）。此外，Vκ和Vjm（κ）都是初等的κVδ的子结构。因此，Vδ |= ZFC。定理7.1如果κ是E0，由j见证:Vδ → Vδ，那么在Vδ中，κ（以及所有的基数JM（κ），m ≥ 1）是C（n）-超强，C（n）-可扩，C（n）-超紧，C（n）-k-巨大，以及C（n）-超巨大，对于所有的n，k ≥ 1。证明首先注意到在Vδ中，κ和所有迭代JM（κ），m ^ 1都属于C（n），对于所有n。为了证明κ是Vδ中的C（n）-superhuge，选择任意α《δ。那么我们可以发现m使得JM（κ）》α。因此，jm : Vδ → Vδ，Cr I t（JM）=κ，α《JM（κ），Vδ在JM（κ）-序列下是闭的，并且JM（κ）e C（n）。通过以下方式定义U:X e U当且仅当x⊆p（JM（κ）÷JM“JM（κ）e JM（x）。人们可以很容易地证明U是P（JM（κ））上的κ-完全精细正规超滤子U由于U e Vδ，我们现在可以在Vδ中定义超幂嵌入k vδM∞Ult（vδ，）。那么Cr I t（k）κ，α《k（κ），M在k（κ）-序列下是闭的，并且k（κ）C（n）（参见【5】，24.8了解详情）。由于对每个α《δ都可以做同样的事情，这表明在Vδ中κ是C（n）-superhuge。因此κ也是C（n）-超紧的、C（n）-可扩的和C（n）-超强的。对…的争论使用超滤器方面的C（n）-k-庞大性的特征，表明κ是C（n）-k-庞大性类似于C（n）-超庞大性。6).п因此，模ZFC，E0基数存在的一致性意味着与前面部分中考虑的所有C（n）基数存在的ZFC一致性。注意上面定理的一个结果（和推论4.15）是Vδ满足VP。现在让我们说κ是C（n）-E0基数，如果它是E0，由一些嵌入证明j Vδ Vδ，其中j（κ）C（n）。显然，如果κ是C（n）-E0，那么κC（n）。事实上，κ是C（n）的一个极限点。假设α小于κ。那么Vj（κ）满足存在某个大于α的βC（n），因为κ是这样一个β。因此，根据j的初等性，Vκ满足大于α的一些β属于C（n）。但既然κC（n），β确实属于C（n）。显然，每个E0基数都是C（1）-E0。然而，一个简单的反射论证表明，对于n ≥ 1，最小的C（n）-E0基数小于C（n+1）中的第一个基数，因此它不是C（n+1）-E0。假设αEC（n+1）小于或等于第一个C（n）-E0基数κ。那么Vα满足σn-1陈述，该陈述断言C（n）-E0基数的存在，因为κ在V中见证了它。但是如果Vα认为某个λ是C（n）-E0基数，那么V也是，这与κ的最小值相矛盾。命题7.2如果κ是C（n）-E0，那么它是C（n）-m-huge，对于所有m，并且存在一个κ-κ上的完备正规超滤子U使得{α《κ:α对每个m}e U都是C（n）-m-huge。证明设j : Vδ → Vδ证明κ是C（n）-E0，δ极限。然后在【5】，24.8可以证明超滤器V在P（λ）上，其中λ= JM（κ），由下式定义X e V当且仅当j”λe j（X）目击者称κ是C（n）-m-巨大的。设U是从j得到的κ上通常的κ-完全正规超滤子。因为V e Vδ，Vδ满足κ是C（n）-m-huge，所以{α《κ:α对每个m}e U . п都是C（n）-m-巨大的命题7.3假设j : Vδ → Vδ见证κ为E0，δ为极限序数。那么对于每个n ≥ 1，以下等式是等价的，JM（κ）e C（n），所有1≤m《ω。δe C（n）。证明（1）意味着（2）是直接的，因为δ= sup { JM（κ）:m《ω}。（2）意味着（1）直接从易于验证的事实得出:Vκ和Vjm（κ）都是Vδ的基本子结构，m ≥ 1。п

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