数学哲学译文丨范畴性，反射原理与实在论 (6-4)

我们的范畴性刻画与二阶集合论ZFC₂ 之间的关键区别在于， ZFC₂ 只有二阶分离公理，而没有我们的公理 (4)。二阶分离公理不足以迫使累积层级在不可达基数后继续增长，因为对于不可达的 κ ， Vκ 满足二阶分离公理。但这样的结构 Vκ 不满足我们的公理 (4)，因为 κ 和 Vκ 在元理论中是集合，因此必须作为元素添加，从而使得层级继续增长。公理上的这一关键差异是为什么策梅洛只实现了准范畴性结果，在每个不可达基数处停下，而我们能够实现完全范畴性，向上推进到整个集合论宇宙。

还要注意，我们上面为集合论宇宙V 提供的范畴性刻画与在主要定义（译注：原文定义3）中用于范畴性基数的范畴性概念之间存在种类差异。在定义范畴性基数时，尽管我们使用了关于所讨论结构 Vκ 的二阶理论，但最终这相当于在集合论宇宙 V 中的一阶概念，因为我们实际上是在量化 Vκ₊₁ ，而这是 V 中的一个集合。相比之下， V 的范畴性刻画不是在 V 中的一阶概念，而是在 V 之上的二阶概念。因此， V 的范畴性刻画中所使用的范畴性概念不受定理15的结论约束。

这种范畴性提议能否解决范畴性和反射之间的张力？通过在二阶逻辑中提供集合论宇宙的范畴性刻画，它似乎既将范畴性作为更基本的概念，又确定了反射的可能的范围限制。反射原理无法完全上升到二阶逻辑，因为集合论宇宙的一个真理是它不是一个集合，而这是一个无法反射到任何实际集合中的真理。

但是，这种集合论宇宙的范畴性刻画令人满意吗？它是否使我们能够确保集合宇宙的明确意义和对哪些集合存在的明确描述？不，并不完全。让我们来批判它。如我们所述，这种刻画本质上是通过将元理论中的集合概念复制到对象理论中来实现的。因此，只有在我们已经固定了二阶逻辑的意义时，也就是说，当我们在元理论中固定了一个集合概念时，这种范畴性刻画才是有意义的。如果我们使用了不同的元理论集合概念，例如，集合论多元主义是真的，那么使用该集合概念进行的范畴性刻画将使其成为唯一的集合论领域。因此，范畴性刻画本身无力驳斥多元主义，也不能告诉我们哪些集合是真正存在的。如果没有假定从元理论中二阶逻辑解释得出的集合概念的确定性，我们不能仅凭范畴性结果来确定我们的集合概念的确定性。尝试这样做会是一种循环论证，只是将问题从对象理论推到了元理论。

这个问题本质上与我们之前对 Kreisel 关于连续统假设在二阶集合论中得到解决的观察所提出的反对意见相似。我们反对这个论点，因为 Kreisel 的观察仅仅表明连续统假设在某种意义上是确定的，前提是已经固定了一个完整的集合概念用于二阶逻辑的元理论解释。但是，如果存在多种这样的元理论集合概念的选择，那么并不是所有这些概念都会以相同的方式解决这个问题。正是这种循环性阻止我们使用集合论宇宙的范畴性刻画来理解哪些集合是存在的。

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