数学哲学译文丨范畴性，反射原理与实在论 (6-5)

我们从集合论宇宙〈V，∈〉 的范畴性刻画中得到的主要教训是，这种显而易见的循环性和无用性有助于显示我们在数学中使用的其他二阶刻画同样不足以确立确定性。也就是说，这种循环性反对意见同样适用于戴德金对算术的公理化以及实数作为唯一完备有序域的刻画。第一作者这样解释：一些哲学家反对说，我们不能通过二阶范畴性刻画来识别或确保我们基本数学结构的确定性。相反，我们只能相对某个集合论背景来做到这一点，而这些背景并不是绝对的。提议是，我们知道自然数结构的意义——它是一个确定的结构——因为戴德金算术唯一地通过同构刻画了这个结构。反对意见是，戴德金算术基本上依赖于数的任意收集 (arbitrary collection) 的概念，而这个概念本身比我们关注的自然数概念更不确定。如果我们对自然数的确定性有疑问，如何通过相对不确定的“任意收集”概念来解决？具体有哪些收集？范畴性论点发生在一个集合论领域中，而要用它来确定自然数的确定性，就需要首先确立其自身的确定性。[7]

因为二阶刻画假定了一个二阶逻辑的集合论领域，它们所提供的数学结构的确定性仅与二阶逻辑的集合论刻画本身一样确定。

让我们总结一下本文的主题和要点。策梅洛的准范畴性结果自然引出了关于哪些ZFC₂ 扩张可能是范畴性的这一问题，我们对此进行了数学探索。所有这些范畴性扩张和新颖性扩张都不可避免地描述了相对较小的大基数，而真正的大基数则必然是非范畴性和非新颖性的，这突显了集合论中范畴性和反射之间的根本张力。最大的大基数概念是非范畴性的这一事实，提供了支持我们对集合论宇宙的最终刻画中偏向非范畴性的理由。此外，还需要在这个基础上解释范畴性真谓词、关于真理的真理等问题，这种需要似乎不可避免地将我们从任何范畴性基础推向更高层次的领域，从而进一步加强了这种立场。

参考

1. W. N. Reinhardt. “Remarks on reflection principles, large cardinals, and elementary embeddings”. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 13.II (1974), pp. 189–205.

2. Penelope Maddy. “Believing the Axioms, I”. The Journal of Symbolic Logic 53.2 (1988), pp. 481–511.

3. Penelope Maddy. “V = L and MAXIMIZE”. In: Logic Colloquium ’95 (Haifa). Vol. 11. Lecture Notes Logic. Berlin: Springer, 1998, pp. 134– 152.

4. Joel David Hamkins. “A multiverse perspective on the axiom of constructibility”. In: Infinity and Truth. Vol. 25. LNS Math Natl. Univ. Singap. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2014, pp. 25–45. doi: 10.1142/9789814571043 0002. arXiv:1210.6541[math.LO]. -qE.

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