数学哲学译文丨范畴性，反射原理与实在论 (6-3)

Väänänen[6]指出，没有一个范畴性结构能够解释所有其他结构，从这个意义上说，没有一个范畴性结构可以作为数学的基础，这再次推动我们走向非范畴性的基础。

由于非范畴性与集合论宇宙观之间的这些张力，我们主张非范畴性倾向于削弱将集合论宇宙视为唯一完全完成的集合论领域的观点。毕竟，如果最终的集合论不是范畴性的，那么无论我们对最终集合论宇宙断言什么集合论真理，这些真理在其他不同的集合论领域中也同样为真。因此，理论的非范畴性本质上导致了一种集合论的本体论多元主义。相同的集合论真理在其他地方也会成立。无论宇宙论者认为是什么将集合论宇宙V 个别化，都不能作为这个集合论领域理论的一部分来表达。

在我们看来，这里的哲学问题是解释这种对范畴性的态度转变。为什么我们将范畴性视为对自然数、实数等较小的数学结构的基本价值，而不将其视为对整个集合论宇宙的基本价值？

让我们尝试通过描述一种摆脱僵局的方法来提供一个解决方案，尽管最终我们将从这次分析中得出不同的教训。我们的主张是，如果认为二阶逻辑具有固定的意义，其中元理论概念集合至少遵循类似ZFC 的东西，那么集合论宇宙 V 实际上在二阶逻辑中具有范畴性刻画。此外，这种刻画的存在最终限制了集合论宇宙能够展示的反射程度。

具体来说，我们主张，集合论宇宙的类结构〈V，∈〉 在二阶逻辑中被刻画为同构意义上唯一的良基外延的类似集合 (set-like) 关系，该关系实现了论域中的每一个子集。更具体地：

(1) 属于关系∈ 是外延的。

x＝y ↔ ∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y)

(2) 属于关系∈ 是良基的。

∀A[∃x Ax → ∃x(Ax ∧ ∀y(y ∈ x → ¬Ay))]

(3) 属于关系∈ 是类似集合的。

∀α∃A∀x(x ∈ α ↔ Ax)

(4)V 的每一个子集都得以实现。

∀A∃α∀x(x ∈ α ↔ Ax)

小写的量词∀x 量化的是论域 V 中的对象 x ，而大写的量词 ∀A 在二阶逻辑中解释，范围包括 V 的所有子集。注意， V 本身在元理论中将是一个真类，而不是一个集合，因此我们强调 ∀A 意味着 V 的所有子集 A ⊆ V ，这不包括 V 的真类子类，如 V 本身或 V 的序数全类。因此，这个量词不同于在 Gödel-Bernays 和 Kelley-Morse 集合论中使用的类量词，因为那个量词的范围包括所有类，包括真类，而不仅仅是集合。公理 (2) 断言每个非空子集 A ⊆ V 都有一个 ∈ -极小元。公理 (3) 断言 V 中任意集合的 ∈ -成员形成一个集合——即在元理论中的一个集合，使用二阶集合概念。公理 (4) 反过来断言，对于每个子集 A ⊆ V ， V 中有一个对象 α ，其 ∈ -元素与 A 的元素相同。这样，公理 (3) 和 (4) 断言了对象理论和元理论对“集合是什么”的一种对应。还需注意的是，公理 (4) 比二阶分离公理提出了更强的主张，后者仅仅断言 V 中已经存在的集合的每个子集都在 V 中，而我们的公理断言 V 的每个子集都在 V 中。因此，这个理论隐含了二阶替换公理，从而包含了 ZFC₂ 及更多内容。

这种刻画完全是关于元理论和对象理论中的集合概念的相互作用，因此关键在于我们已经固定了对二阶逻辑的解释。归根结底，这种公理化所断言的——也许令人失望——是集合论结构〈V，∈〉 ，它在同构意义上准确地将元理论的良基累积集合层级实现为对象理论。归根结底，它将元理论复制为对象理论。

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