数学哲学译文丨范畴性，反射原理与实在论 (6-2)

这种张力也表现在对大基数的态度上。集合论学者通常捍卫“大即是好”的大基数方法，指出它们提供的高度结构化的一致性强度层次以及即使是最强的大基数概念在较低层次上的解释性后果。然而，正如我们所提到的，大基数的范畴性是一种“小”的概念，而不是“大”的概念。定理15显示，范畴性基数都低于最小的[公式] -正确基数，因此也低于每一个强基数、每一个超紧致基数、每一个可扩展基数 (extendible cardinal)、每一个完全异世界基数 (totally otherworldly cardinal) 等。因此，如果我们认为在基础理论中范畴性是可取的，那么我们似乎会被推向大基数层次的低端，推向最小的大基数，推向满足范畴性理论的集合论宇宙。例如，理论 ZFC₂ +“没有不可达基数”是范畴性的，ZFC₂ +“正好有 ω²＋5 个不可达基数”也是范畴性的。但是，在集合论哲学中，人们会发现一些反对将这种理论作为集合论基础的普遍论点——它们被视为具有限制性和局限性。例如，Penelope Maddy[3]提出了最大化原理，并用它来解释集合论学者对可构造性公理和大基数不存在公理的普遍抵制，认为这些公理具有限制性。根据最大化原理，我们应当寻求开放的、无限制的集合论公理化。即使是Maddy立场的批评者，如[4]中的第一作者，也保留了开放的集合论概念，并不主张在集合论宇宙中追求范畴性。

定理15及其引出的观点，即范畴性仅适用于小宇宙，似乎表明我们可能不想要或不期望对整个集合论宇宙V 进行范畴性描述，甚至不期望关于 V 的理论的新颖性 (freshness)（译注：我们说不可达基数 κ 是新颖的，当且仅当关于 Vκ 的理论在 κ 处首次出现）。或许这就是反射的本质，无论在 V 中什么是正确的，可能包括整个关于 V 的理论，都已经在沿途中多次出现过。

根据玩具模型视角（描述于[4][5]），研究各种集合论模型及其相互关系，部分是为了在其多元宇宙及其各种力迫扩张的背景下，洞察更大的实际集合论宇宙的本质。玩具模型充当现实事物的代理，而现实事物对我们来说仍然是不可接近的——我们通过研究玩具模型来了解在 V 中可能为真的事物或我们希望在 V 中看到的事物。当我们考虑 Vκ （其中是 κ 不可达基数）的玩具模型时，我们发现只有较小的大基数实现了范畴性理论，而较大的大基数没有实现，因此玩具模型视角与最大化原理似乎使我们倾向于认为整个集合论宇宙 V 不应满足一个范畴性甚至新颖性理论。基于玩具模型视角，我们可以将非范畴性和非新颖性作为一个目标。

同样的，哲学反思的论点可能会引导我们采用诸如“Ord是Mahlo”的原理，即断言每一个一阶可定义的序数闭无界类都包含一个正则基数。从这个原理直接推论出，宇宙不具有一阶句子范畴性 (first-order sententially categorical)（译注：我们说基数κ 具有一阶句子范畴性， 当且仅当存在集合论语言的一阶句子 σ 使得 Vκ 可以被 ZFC₂＋σ 范畴性刻画），因为在 V 中为真的任何陈述都会反射到许多不可达的层次 Vκ 。进一步考虑一个具有宇宙论视角的集合论学者，他们认为存在唯一集合论宇宙包含所有集合，这些集合在该宇宙中具有确定的存在，并且集合论真理具有确定的本质。在这种情况下，我们会期望一个用于一阶真理的真谓词类（在Kelley-Morse集合论中可以证明这样的类的存在）。如果“Ord是Mahlo”背后的反射思想包含允许将这个类作为参数的定义，那么我们将立即得到无界多的不可达反射基数 Vκ ≺ V 。因此，宇宙将不满足一个范畴性理论。这样，哲学反思和确定性论点再次推动我们在集合论真理中倾向于非范畴性。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。