数学哲学译文丨范畴性，反射原理与实在论 (6-1)

节选自 Joel David Hamkins, Hans Robin Solberg, Categorical large cardinals and the tension between categoricity and set-theoretic reflection, Section 7.5

我们希望引起大家注意的是，据我们观察，数学中两个基本价值取向之间存在某种复杂的张力——范畴性与集合论反射原理之间的固有矛盾。这个问题值得哲学上的关注。

一方面，数学家几乎普遍追求对基本数学结构的范畴性描述，从戴德金对算术的公理化到实数作为完备有序域的刻画。范畴性被视为一种积极的价值，也是数学实践中的一个关键总体目标。对此至少部分的解释（尽管我们仍保留意见）是，结构的范畴性刻画似乎使我们有理由将这些结构视为明确的。从这个角度看，我们知道自然数的含义，正是因为我们可以范畴性地描述自然数结构。确实，因为我们所有的基本数学结构都允许这种范畴性刻画，我们因此有理由认为它们是明确而真实的，这样范畴性似乎引向数学实在论。同时，范畴性似乎也实现了结构主义，因为我们基本结构的范畴性描述总是仅限于同构关系，因此，将每一个符合这种刻画的结构视为完全令人满意的，正是采取了结构主义的立场。

另一方面，集合论学者强烈捍卫集合论反射原理，以各种方式主张整个集合论宇宙的每一个真理都会反射到某个集合大小的结构中。反射常被描述为集合论宇宙的一个核心特征，实际上，Lévy-Montague反射定理在弱理论上等价于ZFC的替换公理。反射的思想不仅被用来为ZFC集合论公理辩护，还用来为大基数的存在辩护[1][2]。

范畴性和反射之间我们旨在强调的令人困惑的冲突在于，反射本质上是一种反范畴性原理——它明确断言，没有任何陈述能够刻画集合论宇宙V ，因为在 V 中为真的每个陈述在一个小得多的结构中也同样为真。这里需要解决的哲学问题是，我们如何能够认为范畴性在所有基本数学结构中至关重要，同时又断言集合论宇宙本身的非范畴性为一个核心原理。最终，在反射现象的范围和任何对集合论宇宙的范畴性刻画的复杂性之间必然存在根本的不匹配，因为那些反射的陈述和理论显然无法包含范畴性刻画本身，因为范畴性刻画不会反射到任何较小的结构中。

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