希尔伯特基定理 (2-2)

ₘ

fₘ₊₁ – ∑ uᵢfᵢXᵈⁱ∈l\(f₁，· · ·，fₘ)

ᵢ₌₁

并且其次数严格小于 deg fₘ₊₁ ，这与 fₘ₊₁ 次数的最小性矛盾

这就完成了希尔伯特基定理的证明

对于形式幂级数环，也有类似的结论成立

定理3 设 A 为 Noether 环，则对任意的 n ≥ 1 ， A 上的 n 元形式幂级数环 A[[X₁，· · ·，Xₙ]] 也是 Noether 环

Pf.根据自然的环同构 A[[X₁，· · ·，Xₙ]] ≃ A [[X₁，· · ·，Xₙ₋₁]] [[Xₙ]]，可将问题约化为 n＝1 的情形；只需对 Noether 环 A 证明，形式幂级数环 A[[X]] 是 Noether 环即可；

证明思路与希尔伯特基定理的思路完全类似，不同的是此处考虑形式幂级数的最低次项；

对任一 f＝∑αₙXⁿ∈A[[A]] ，其中 αₘ ≠ 0 ，定义

υₓ(f)：＝αₘ＝min{n|αₙ ≠ 0}，

然后将定理2证明过程中的领导系数 in(f) 定义改为 in(f)：＝υₓ(f)＝αₘ，并将所有的 deg 替换为 υₓ 即可；此后的 f₁，· · ·，fₘ 构造是完全相同的（仍取 υₓ 最小）

学习了环的完备化之后我们将看到，定理3无非是完备化和 Noether 环的相容性

希尔伯特基定理相当重要，后面我们还会反复遇见

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