Galois 群的上同调群 (4-4)

为证明 ξ ∈ B¹(G，K)，由 (3) 式，只要证存在 α∈K× 使得 τξ＝α · (ατ)⁻¹ (∀τ ∈ G)成立。由引理 1，存在 x∈K 使得 b＝∑σξxσ ≠ 0。

σ∈G

对于任一 τ∈G，由 (7) 式，有

bτ＝∑(σξ)τ xστ＝∑((στ)ξ(τξ)⁻¹)xστ＝b · (τξ)⁻¹. σ∈G σ∈G

取 α＝b 即可。 ▢

最后我们指出：K 作为加法群当然也是 ℤ[Gal(K/F)] 模，因此可考虑 ℤ[Gal(K/F)] 的取值在加法群 K 中的上同调群 Hⁱ(Gal(K/F)，K) (i ≥ 1)。结论是：这些上同调群都是平凡的。证明此结论的一条途径是应用正规基定理，即：如果 K/F 是有限 Galois 扩张，则存在 x∈K 使得 {xσ│σ ∈ Gal(K/F)} 构成 K（作为 F-线性空间）的一组基。但是，一般而言， Hⁱ(Gal(K/F)，K×) 当 i＞1 时不一定是平凡的。H²(Gal(K/F)，K×) 称为 K/F 的 Brauer 群。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。