Galois 群的上同调群 (4-3)

B¹(G，A)＝lim d*₀

＝{ξ：G → A│∃α ∈ A s.t σξ＝α – ασ(∀σ ∈ G)}， (3)

Z¹(G，A)＝ker d*₁

＝{ξ：G → A│(σ₁σ₂)ξ＝(σξ₁)σ₂＋σξ₂(∀σ₁，σ₂∈G)}. (4)

这样，我们得到了群 G 的一维上同调群的表达式

H¹(G，A)＝Z¹(G，A)/B¹(G，A)，

其中 Z¹(G，A) 和 B¹(G，A) 如 (3) 和 (4) 式所示。

Galois 群的一维上同调群

先证明一个引理。

引理 1. 设 K/F 是有限 Galois 扩张，则 Galois 群 Gal(K/F) 的元素 σ₁，. . .，σₙ 是 K-线性无关的，即：如果 α₁，. . .，αₙ∈K 使得

α₁xσ¹＋· · ·＋αₙxσⁿ＝0 (∀x∈K)， (5)

则 α₁＝· · ·＝αₙ＝0。

证明. 假若存在不全为零的 α₁，. . .，αₙ∈K 使得 (5) 式成立，设 m 是使得 (5) 式成立的最小项数，即存在 K 中的不全为零的元素 b₁，. . .，bₘ 使得

b₁xσᵢ₁＋· · ·＋bₘxσᵢₘ＝0 (∀x∈K)， (6)

并且 c₁xσⱼᵢ＋· · ·＋cₘ₋₁xσⱼₘ₋₁＝0 (∀x∈K) 蕴含着 c₁＝· · ·＝cₘ₋₁＝0。由于 σᵢ₁ ≠ σᵢ₂，所以存在 y∈K 使得 yσᵢ₁ ≠ yσᵢ₂。将 xy 代入 (6) 式，得

b₁(xy)σᵢ₁＋b₂(xy)σᵢ₂＋· · ·＋bₘ(xy)σᵢₘ＝0 (∀x∈K).

以 yσᵢ₁ 乘 (6) 式，得

b₁(xy)σᵢ₁＋b₂ yσᵢ₁ xσᵢ₂＋· · ·＋bₘ yσᵢ₁ xσᵢₘ＝0 (∀x∈K).

以上两式相减，得

b₂(yσᵢ₁ – yσᵢ₂)xσᵢ₂＋· · ·＋bₘ(yσᵢ₁ – yσᵢₘ)xσᵢₘ＝0 (∀x∈K).

其中 xσᵢ₂ 的系数 b₂(yσᵢ₁ – yσᵢ₂) ≠ 0，这矛盾于 m 的最小性。 ▢

设K/F 是 Galois 扩张，则 K×＝K\{0}（作为乘法群）在 Gal(K/F) 自然的作用下（即对于 σ ∈ Gal(K/F) 和 x ∈ K×，定义 σ 在 x 上的作用 xσ 为 xσ）是 ℤ[Gal(K/F)] 模。于是可以考虑 Gal(K/F) 的取值在 K× 中的上同调群。

定理 1. 设 K/F 是有限 Galois 扩张，则 H¹(Gal(K/F)，K×)＝{1}。

证明. 记 G＝Gal(K/F)。只要证明 Z¹(G，K×) ⊆ B¹(G，K×)。设 ξ ∈ Z¹(G，K×)，则由 (4) 式，

(στ)ξ＝(σξ)τ · τξ (∀σ，τ ∈ G). (7)

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