Galois 群的上同调群 (4-2)

定义 1. 对于 i＞0，ker d*ᵢ 称为 G 的取值在 A 中的 i 维上闭链，记为 Zⁱ(G，A)；im d*ᵢ₋₁ 称为 G 的取值在 A 中的 i 维上边缘，记为 Bⁱ(G，A)；商群 Zⁱ(G，A)/Bⁱ(G，A) 称为 G 的取值在 A 中的 i 维上同调群，记为 Hⁱ(G，A)。G 的取值在 A 中的 0 维上同调群 H⁰(G，A) 定义为 ker d*₀ 。

一维上同调群的表达式

为了将上同调群清楚地表达出来，我们将Pᵢ 换一个写法。作为自由 ℤ[G] 模，Pᵢ 的基取为

{(σ₁σ₂ · · · σ₁，σ₂ · · · σᵢ，. . .，σᵢ₋₁σᵢ，σᵢ，1)│σ₁，. . .，σᵢ ∈ G}.

以下将 (σ₁σ₂ · · · σᵢ，σ₂ · · · σᵢ，. . .，σᵢ₋₁σᵢ，σᵢ，1) 记为 [σ₁，. . .，σᵢ]（P₀ 的基记为 [ ]）。在此记号下，自由化解序列中的模同态 dᵢ₋₁ 在基上的作用为

[σ₁，σ₂，. . .，σᵢ]ᵈⁱ⁻¹

＝(σ₁σ₂ · · · σᵢ，σ₂ · · · σᵢ，. . .，σᵢ₋₁σᵢ，σᵢ，1)ᵈⁱ⁻¹

＝(σ₂ · · · σᵢ，σᵢ₋₁σᵢ，σᵢ，1)

ᵢ

＋∑(–1)ʲ⁻¹ (σ₁σ₂ · · · σᵢ，. . .，σⱼ₋₁ · · · σᵢ，σⱼ₊₁ · · · σᵢ，. . .，σᵢ，1)

ⱼ₌₂

＋(–1)ⁱ(σ₁σ₂ · · · σᵢ，σ₂ · · · σᵢ，. . .，σᵢ₋₁σᵢ，σᵢ)

ᵢ

＝[σ₂，. . .，σᵢ]＋∑(–1)ʲ⁻¹ [σ₁，. . .，σⱼ₋₁σⱼ，. . .，σᵢ] ⱼ₌₂

＋(–1)ⁱ[σ₁，. . .，σᵢ₋₁]σᵢ.

于是，对于任一 φᵢ₋₁ ∈ Hom ℤ[G]，有

[σ₁，σ₂，. . .，σᵢ] (d*ᵢ₋₁ φᵢ₋₁)

＝([σ₁，σ₂，. . .，σᵢ]ᵈⁱ⁻¹)φᵢ₋₁

ᵢ

＝[σ₂，. . .，σᵢ]φᵢ₋₁＋∑(–1)ʲ⁻¹[σ₁，. . .，σⱼ₋₁σⱼ，. . .，σᵢ]φᵢ₋₁ ⱼ₌₂

＋(–1)ⁱ([σ₁，. . .，σᵢ₋₁]σᵢ)φᵢ₋₁

ᵢ

＝[σ₂，. . .，σᵢ]φᵢ₋₁＋∑(–1)ʲ⁻¹[σ₁，. . .，σⱼ₋₁σⱼ，. . .，σᵢ]φᵢ₋₁ ⱼ₌₂

＋(–1)ⁱ([σ₁，. . .，σᵢ₋₁]φᵢ₋₁)σᵢ.

具体写出 d*₀ 和 d*₁ 的表达式。对于任一 ξ ∈ Homℤ[G] (P₀，A) 以及 [σ] ∈ P₁，有

[σ](ξᵈ*¹)＝[ ]ξ – ([ ]ξ)σ.

对于任一 ξ ∈ Homℤ[G] (P₁，A) 以及 [σ₁，σ₂] ∈ P₂，类似地有

[σ₁，σ₂](ξᵈ*¹)＝[σ₂]ξ – [σ₁σ₂]ξ＋([σ₁]ξ)σ₂.

由此可知

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