Galois 群的上同调群 (4-1)

B¹(G，A)＝{ξ：G → A│∃α ∈ A s.t. σξ＝α – ασ (∀σ ∈ G)}，

Z¹(G，A)＝{ξ：G → A│(σ₁σ₂)ξ＝(σξ₁)σ₂＋σξ₂(∀σ₁，σ₂ ∈ G)}.

目录

群的上同调

一维上同调群的表达式

Galois 群的一维上同调群

本文我们介绍群的上同调群的基本概念，并证明域的有限 Galois 扩张的 Galois 群的取值在域中的一维上同调群是平凡的。

参考文献：北京大学出版社《抽象代数Ⅱ》，徐明曜、赵春来编著。

群的上同调

首先我们介绍群的上同调。设G 是群，令 Gⁱ⁺¹＝G × G × · · · × G（i＋1 个 G），并令 Pᵢ＝ℤ[Gⁱ⁺¹]。定义 G 在 Gⁱ⁺¹ 上的作用为 (σ₀，. . .，σᵢ)σ＝(σ₀σ，. . .，σᵢσ)，其中 σ∈G，(σ₀，. . .，σᵢ) ∈ Gⁱ⁺¹。这个作用的 ℤ-线性扩张给出群环 ℤ[G] 在 Pᵢ 上的作用，使得 Pᵢ 成为自由 ℤ[G] 模，其基可取为

{(σ₀，σ₁，. . .，σᵢ₋₁，1)│(σ₀，. . .，σᵢ₋₁)∈Gⁱ}.

对于任一 i ≥ 0，定义映射

dᵢ：Pᵢ₊₁ → Pᵢ，

ᵢ

(σ₀，. . .，σᵢ) ↦∑(–1)ʲ (σ₀，. . .，σⱼ₋₁，σⱼ₊₁，. . .，σᵢ). ⱼ₌₀

易见dᵢ 是 ℤ[G] 模同态。考虑序列

d₂ d₁ d₀ ε

· · · → P₂ → P₁ → P₀ → ℤ → 0， (1)

其中 ε 的定义为

ε：P₀(＝ℤ[G]) → ℤ，

ₘ ₘ

∑ αⱼσⱼ ↦ ∑ αⱼ (αⱼ ∈ ℤ，σⱼ ∈ G).

ⱼ₌₁ ⱼ₌₁

如果将 ℤ 视为平凡 ℤ[G] 模（即 G 中任一元素在 ℤ 上的作用都是 ℤ 上的恒同映射），则 ε 是 ℤ[G] 模同态。于是 (1) 是 ℤ[G] 模序列。不难验证序列 (1) 是正合的。称序列 (1) 为 ℤ 作为平凡 ℤ[G] 模的自由化解。

现在设 A 为任一 ℤ[G] 模。将函子 Homℤ[G](·，A)应用于序列 (1)（除去最后一项），我们得到序列

d*₂ d*₁ d*₀

· · · ← Hom(P₂，A) ← Hom(P₁，A) ← Hom(P₀，A). (2)

此序列一般而言不再是正合的。但是，不难看出对于任一 i＝0，1，. . .，有 d*ᵢd*ᵢ₊₁＝0，即 im d*ᵢ ⊆ ker d*ᵢ₊₁ 。我们称序列 (2) 为一个上链复形。

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