最大的“无和”集 (4-3)

对于不了解 nonstandard analysis 的同学简单介绍一下。我们这里用到的是所谓的“cheap nonstandardanalysis”，也就是我们并没有本质的用到拓扑性质，换句话说，通过更精细的计算，实际上是可以避免使用 nonstandard analysis 的；这里主要是为了简化证明。在使用 ultraproduct 之后，我们可以将“有限”的object转化为“无限”的object，而无限object的组合性质通常要比有限的object容易一些。

对于一个自然数中的无穷集合A ，我们定义 A 的multiple upper density

ˉd(A)＝lim sup lim sup ─↓

N → ∞ n →∞

|A∩(N！· [n])|

─────── ←

n

我们先证明了第一个定理：如果一个集合A 是 (k，l) -sum-free的，那么 ˉd(A) ≤ 1/(k＋l) 。这个定理证明用到了Szemeredi定理，以及很多繁杂的初等技术，以及Łuczak-Schoen定理。这里略去不证，有兴趣的读者可以去看paper的第六节。我们这里主要介绍，如何用multiple upper density的信息来证明整个定理。

我们使用反证法 + 概率方法。假设{Fₙ} 为一组 Følner sequence，通过选取子列，我们可以假设对于每个 Fₙ ，我们都可以找到一个 (k，l) -sum-free子集 fₙ 的大小至少是 δ|Fₙ| ，其中 δ＞1/(k＋l) 。取 Fₙ 以及 fₙ 的超极限，分别为 F，f 。定义相应的 Loeb measure μ 。于是我们有 μ(f)＞δ 。并且根据 Łoś 定理， f 在超整数上也是 (k，l) -sum-free的。注意到对超整数上的任意有限子集 X ，我们都有

μ(X) – μ(α · X)＝lim ─↓

|X∩Fₙ| – |X∩α · Fₙ|

───────── ←

|Fₙ|

|Fₙ △ α · Fₙ|

≤ lim ──────＝0

|Fₙ|

(以上也是唯一用到Følner性质的地方)。对于超整数上的每个非0元素x ，定义自然数子集 Aₓ ，满足 Aₓ＝{n：nx ∈ f} 。由于自然数是超实数的子集，并且 f 在超实数中满足 (k，l) -sum-free，于是 Aₓ 是 (k，l) -sum-free的。于是由Fatou引理，我们有

𝔼ˉd(Aₓ)＝𝔼 lim sup lim sup ─↓

N → ∞ n → ∞

|Aₓ∩(N！· [n])

────── ←

n

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