最大的“无和”集 (4-4)

|Aₓ∩(N！· [n])|

≥ lim inf lim inf 𝔼(───────)

N → ∞ n → ∞ n

1 ₙ

＝lim inf lim inf ─ ∑ ℙ (jN！x ∈ f)

N → ∞ n → ∞ n ⱼ₌₁

1 ₙ

＝lim inf lim inf ─ ∑ ℙ (x ∈ f)

N → ∞ n → ∞ n ⱼ₌₁

1

＝μ(f) ≥ δ＞──，

k＋l

那么根据抽屉原理，存在一个x 使得 Aₓ 的multiple upper density 大于 1/(k＋l) 。这个和上文中任意 (k，l) -sum-free集合 A 都满足multiple upper density至多为 1/(k＋l) 矛盾。

注意：──线与箭头↓、←符号表示，连接的意思！

解释：因为正常划分会导致错乱与复杂的场景因此使用如上（箭头符号、──制表线符号）表示与描述（过程）！

参考

1. Y. Jing and S. Wu. The largest $(k,\ell)$-sum-free subsets. to appear at Trans. Amer. Math. Soc., 2021.

2. S. Eberhard, B. Green, and F. Manners. Sets of integers with no large sum-free subset. Annals of Math. 180, 621–652, 2014.

3. Y. Jing and S. Wu. A note on the largest sum-free sets of integers. arXiv:2011.09963, 2020.

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