最大的“无和”集 (4-2)

ᵢ₌ᵢ ⱼ₌₁

注意这里我们要求 k ≠ l 于是上文中的sum-free在新的定义下也就是(2,1)-sum-free。

关于(k,l)-sum-free问题的研究开始于Bourgain。他证明了上面关于(2,1)-sum-free（即sum-free）的猜想中的情形，对(3,1)-sum-free set 是成立的。另一方面，Eberhard证明了存在无穷多的N 元集合，其最大的(k,1)-sum-free子集至多是 N/(k＋1)＋ο(N) 。应用非标准分析的工具，我们的第一个结果证明了所有(k,l)-sum-free问题的上界：Theorem 1 (J.-Wu, 2021)

存在无穷多 N 元集，其任意

N

───＋ο(N)

k＋l

大小的子集一定包含一组(k,l)-sum。

另一方面，应用调和分析工具，我们证明了sum-free猜想对无穷多的(k,l)-sum是成立的。

Theorem 2 (J.-Wu, 2021)

存在无穷多组(k,l), 使得对任意包含 N 个正整数的集合，它的最大(k,l)-sum-free子集的大小至少是

N log N

───＋────.

k＋1 log log N

可惜的是我们证明的所谓无穷多组(k,l)并不包含我们最想要的(2,1)，因此上文提到的(2,1)-sum-free的猜想还非常open。不过另一方面，我们的结果（以及目前的一篇后续结果[3]）也许为这个猜想提供了一点“信心”：既然猜想对无穷多(k,l)都对，那就很有可能对所有(k,l)都对啦。。

这里我想主要说一下上界的构造（定理1）。这里我们的目的，是对每组 (k,l)，以及无穷多个 N ，都存在一个 N 元集合 A ，使得对任意 ε ，A 中每个大小为

N

───＋εN

k＋l

的子集都包含一组 (k,l)-sum。

这里我们利用了乘法群的阿贝尔性质，或者更一般的，amenable group的性质。考虑(ℕ＞⁰，·) 上的一族 Følner sequence：即一个无穷的有限子集序列 {Fₙ} ，满足对任意正整数 α ，

|Fₙ △ α · Fₙ|

lim ──────＝0

|Fₙ|

直觉上来说，构造一个集合的 sum-free 子集严重依赖于对某个素数余数的分布：比如所有的奇数是sum-free的，所有被3除余1的数是sum-free的，所有被5除余2,3的数是sum-free的，等等。而对于Følner sequence来说，其恰好满足一个很好的整除性，即任意一个相对N 不是很大的数都是集合中大部分数的因子。从这个观点下，可以猜测也许Følner sequence就是我们想构造的集合 A 。接下来我们大概讲以下证明的思路。证明的主要工具来自非标准分析，我们先通过取超极限，把集合连续的映射到超实数中，然后通过分析集合的Loeb measure来推出矛盾。具体的证明细节可以阅读我们paper的第六节和第七节。

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