关于Jacobson猜想 (3-1)

Jacobson猜想原表述：对于一个左诺特的幺环R，其Jacobson根J的所有幂之交J^ω=0。

但1965年该表述被证伪，目前仍然open的是以下表述：

“对于一个双边诺特的幺环R，其Jacobson根J的所有幂之交J^ω=0。”

我对该猜想比较感兴趣。

刚翻到一篇有意思的文献，声称，如果幺环R满足如下条件之一，那么J^ω=0：

1、R是左主理想区且有一个左Motria对偶；

2、R是双边诺特环，且它作为自己的左模在离散拓扑下线性紧致。

参考文献：Claudia Menini，Jacobson’s Conjecture, Morita Duality

and Related Questions，Journal of Algebra 103, 638-655 (1986)

抽象代数：环论：

For a ring Rwith Jacobson radical J，the nonnegative powers Jⁿ are defined by using the product of ideals.

Jacobson's conjecture：lnaright-and-left Noetherian ring，∩Jⁿ＝{0}.

n∈ℕ

3. Sᴏᴍᴇ Fᴜʀᴛʜᴇʀ Rᴇsᴜʟᴛs

In this section we will get some more results about Jacobson's conjecture and we will show that， in some particular cases，it holds.

3.1. LEMMA. Let R be α ring，J＝J(R)，Jω＝Jω(R). Suppose thαt ʀR is

I.c.d.αnd ʀJ is finitely generαted. Then

Jω＝JωJ.

Proof.Let J＝Rα₁＋· · ·＋ Rαₙ. For every left R-module M. let M⁽ⁿ⁾ denote the direct sum of n-copies of M. Define

f： ʀR⁽ⁿ⁾ → ʀR

by setting

(r₁，...，rₙ)f＝r₁α₁＋· · ·＋rₙαₙ， r₁，...，rₙ∈R.

Then f is a morphism of left R-modules and

(∩(JᵏR⁽ⁿ⁾)f＝((Jω)⁽ⁿ⁾)f＝JωJ.

ₖ

As ʀR is l.c.d.，by Satz 1 of ［L］ it is：

(∩(JᵏR⁽ⁿ⁾)f＝∩((JᵏR⁽ⁿ⁾)f＝Jω.

ₖ ₖ

3.2. Cᴏʀᴏʟʟᴀʀʏ. Let R be α ring，J＝J(R)， Jω＝Jω(R).Assume thαt ʀR is I.c.d. αnd thαt both ʀJ αnd Jωʀ αre finitely generαted. Then Jω＝0.

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