综合数学简介 (4-1)

总的来说，数学理论可以分为分析理论和综合理论两类。

分析理论是对研究对象进行分析（或者说“拆解”），揭示它们是由更简单的事物组成的，就像复杂分子是由质子、中子和电子组成一样。

例如，解析[1]几何用实数来分析点和直线的平面几何性质：点是实数的有序对，直线是点的集合，等等。

从数学上讲，分析理论的基本对象是用某些其他理论中的对象来定义的。

相比之下，综合理论是根据基本对象的预期关系和行为来综合（或者说“组成”）对它们的概念。

例如，综合几何更像是欧几里得几何学：点和直线基本上是未定义的术语，通过“规定我们可以用它们做什么”的公理（例如两点确定一条唯一的直线）来赋予它们意义。

（尽管欧几里得本人试图定义“点”和“线”，但现代数学家普遍认为这是一个错误，并认为欧几里得的“定义”（如“点是没有部分的东西”）基本上是没有意义的。）

从数学上讲，综合理论是一个由规则或公理支配的形式系统。

综合数学可以看作是类似于基础物理学，在那里像电磁场这样的概念不是由任何更简单的东西“组成”的：它只是存在，并以某种方式运作。

分析和综合之间的区别至少可以追溯到希尔伯特，他分别使用了“遗传”和“公理”这两个词。

在某种程度上，我们可以说现代数学的特征正是分析和综合之间丰富的相互作用——尽管大多数数学家会说的是定义和例子。

例如，一个现代几何学家可能会定义“一个几何学”来满足欧几里得的公理，然后用这些公理综合地工作；但她也会分析地构建这些“几何学“的例子，比如用实数的有序对。

这种方法是由希尔伯特本人开创的，他特别强调，构造一个分析的例子（或模型），就证明了综合理论的一致性。

然而，在更深层次上，几乎所有的现代数学都是分析性的，因为它都被分析到集合论中。

我们的现代几何学家实际上不会像欧几里得那样陈述她的公理；相反，她会将一个几何定义为一个点集 P 和一个线集 L，以及 P × L 的子集代表“重合”关系，等等。

从这个角度来看，数学中唯一真正未定义的术语是“集合”，唯一真正的综合理论是策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。

这种将集合论作为数学的共同基础的做法，当然是20世纪的产物，总的来说，这是向前迈出的一大步。

实际上，它为所有数学家提供了一种共同的语言和强大的基本工具集。

从基础上说，它确保了所有的数学相对于集合论都是一致的。

（希尔伯特的证明绝对一致性的梦想一般认为已经被哥德尔的不完备定理所粉碎。）

从哲学上讲，它为数学提供了一致的本体论，并提供了一个提出元数学问题的背景。

然而，ZFC并不是唯一可以这样使用的理论。

虽然不是每一个综合理论都足够丰富，可以让所有的数学都在其中被编码，但集合论绝不是唯一拥有这种丰富性的理论。

一个可能的变化是使用不同类型的集合论，如ETCS，其中一个集合的元素是“无特征的点”，它们只是相互区分，而不像ZFC那样由精密的分层成员结构标记每个个体。

无论哪种“集合”都足以用于基础目的，而且每种集合都可以解释为另一种集合。

然而，我们现在关注的是更激进的可能性。一个典型的例子是拓扑学。

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