C(n)基数（二） (10-1)

注意：现状（2/2）篇章！

证明很清楚，пn-1类结构的反射性质在极限下是封闭的。所以如果κ是C（n）可扩基数或C（n）可扩基数的极限，那么定理4.11意味着κ反映了所有пn-1类结构。另一个方向可以像定理1中那样得到类似的证明4.16。假设κ反映了所有пn-1（真）类结构，它既不是C（n）-可扩的也不是C（n）-可扩基数的极限。那么对于某个序数η《κ，不存在大于η且小于或等于κ的C（n）可扩基数。考虑Vξ，，λ，α，C（n）ξ，η♀η的结构类，其中从定理证明可知，η《α《λ《ξ满足（1）-（4）4.16此外（5）λ证明小于等于α且大于η的序数都不是λ-C（n）-可扩的。显然，是一个пn-1可定义的真类，参数为η。所以存在一个初等嵌入j:（Vξ◪，e，λ◪，α◪，C（n）∩ξ◪，{η◪}η◪≤η）→（Vξ，e，λ，κ，C（n）∩ξ，{η◪}η◪≤η）两个结构都在中，并且Vξ◪、，λ◪、α◪、C（n）ξ◪、η◪的秩小于κ。所以ξ♀《κ且η《Cr I t（j）。剩下的证据现在继续进行4.16。п我们以下面的观察来结束这一节。假设n ≥ 1。

给定σn+1个可定义的结构类c，比如通过σn+1公式ϕ(x），设c∫是a∫=（vα，e，α，a）形式的结构类，其中α是c（n）中的最小序数，使得Vα |= ϕ( A）。如果A e C，那么这样的α存在，因为序数α的集合使得Vα |= ϕ( A）是club。相反，如果（Vα，e，α，a）e c*，则Vα |= ϕ( A）和αe c（n），这意味着ϕ( A）在v中成立，因此A e C成立。因此，我们有当且仅当。现在注意C∫是пn可定义的。这解释了为什么例如V P（пn）相当于v P（σn+1），或者为什么基数反映пn个类当且仅当它反映σn+1个类。

5，超紧基数

接下来让我们考虑超紧性的C（n）基数形式。

定义5.1如果κ是基数且λ》κ，我们说κ是λ-C（n）-超紧的如果存在初等嵌入j V M，其中M是传递的，使得Cr I t（j）κ，j（κ）》λ，M在λ-序列下是闭的，并且j（κ）C（n）。我们说κ是C（n）-超紧的，如果它对每个λ》κ是λ-C（n）-超紧的。如果κ是C（n）-super huge（参见第。6），那么κ就是C（n）-超紧。因此，命题如下6.4在此之下，如果κ是C（n）-2-huge，则在κ上存在κ-完全正规超滤子，使得α《κvκ“α是C（n）-超紧”。与λ-超紧性不同，λ-C（n）-超紧性的概念不能用κ（λ）上的正规测度来模拟。问题是如果j V M是来自这样一个测度的超幂嵌入，那么2λ《κ《j（κ）《（2λ《κ）+(参见[5】，22.11），因此j（κ）不是基数。所以，为了阐明λ-C（n）-超紧性在集合论的一阶语言中，我们将利用长扩充符2具有足够丰富的传递集作为支持（参见【9】用于此类简短扩展程序的演示）。假设j V M .证明了κ是λ-C（n）-超紧的。设Y是M的传递子集，它包含j T λ，在长度序列下是闭的≤ λ，并且在j下是闭的。设ζ是最小序数，使得y⊆j（vζ）。对于每个a e【y】《ω:= { x⊆y:x是有限的}，设Ea定义为:当且仅当x⊆（vζ）a和J1 t j（a）e j（x）。注意函数J1 T j（a）j（a）a是发送j（x）的同构到x，每x a。不难查得序列E Ea a Y《ω是Vζ上具有临界点κ且支持Y的扩张子，即，每个Ea都是（vζ）a上的κ-完全超滤子，E{κ}不是κ+-完全的。如果a ⊆ b和X e Ea，那么{ f e（vζ）b:f t a e x } e EB。

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