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综合数学简介 (4-2)

在现代“分析拓扑学”中,“空间”被定义为一个点集,配备了一组称为开集的子集,它们描述了点如何连续地变化到彼此。

(大多数分析拓扑学家,由于不了解综合拓扑学,会简单地把他们的研究对象称为“拓扑学”。)

相比之下,在综合拓扑学中,我们假设了一个公理化的理论,与ZFC处于同一本体论层次,其基本对象是空间而不是集合。

当然,我们说基本对象“是”空间,并不意味着它们是配备有开子集的集合。

相反,我们的意思是“空间”是一个未定义的词,理论的规则使这些“空间”或多或少地具有我们期望空间所具有的行为。

特别是,综合空间有开子集(或者更准确地说,开子空间),但它们不是通过指定一个集合以及一组开子集来定义的。

事实证明,像综合集合论(ZFC)一样,综合拓扑学也足以编码所有的数学。

这是真的,在一个平凡的意义上:我们从所有解析空间中找出那些非离散的子类,其中唯一的开子集是空集和整个空间。

综合拓扑学中也可以定义“非离散空间”的概念,这样的空间的集合形成了一个类似ETCS的集合宇宙。

因此,我们可以用它们来编码数学,完全忽略综合空间理论的其余部分。

(关于离散空间也可以说同样的话,在离散空间中每个子集都是开的;但从综合的角度来定义和处理这些空间更难(虽然不是不可能)。

离散空间和非离散空间之间的关系,以及它们如何立足于综合空间理论中,是综合内聚(cohesion)理论的核心,我相信 David 将在他关于几何哲学的章节中提到这一点)。

然而,一个不那么无聊的方法是直接将数学对象构建为空间。

这是如何实现的?

事实证明,我们用来构建(比如说)实数集合的基本构造,与作用于空间的构造有着高度的相似性。

因此,在综合拓扑学中,我们可以使用这些构造直接构建实数空间。

如果我们的综合拓扑学系统设置得足够好,那么产生的空间将表现得像分析实数空间(先构造实数的单纯集合,然后以开区间的并集作为其拓扑)。

下一个问题是,我们为什么要以这种方式做数学?

有很多原因,但现在我认为它们可以分为三类:模块化、哲学和实用主义。

所谓“模块化”,我指的是程序员所说的那个:即使我们相信空间最终是从集合中分析性地构建出来的,隔离它们的基本属性并抽象地处理这些属性通常也是有用的。

这样做的一个好处是通用性。

例如,在欧几里得的“中性几何”(即不使用平行公设)中证明的任何定理,不仅在实数的有序对模型中是正确的,而且在各种非欧几何中也是正确的。

同样,在综合拓扑学中证明的定理可能不仅对普通的拓扑空间是正确的,而且对其他变体理论如拓扑层、光滑空间等也是正确的。

就像数学中经常发生的那样,如果我们只陈述我们需要的假设,我们的定理就会变得更加通用。

即使我们只关心综合理论的一个模型,模块化仍然可以使我们的生活更轻松,因为综合理论可以形式地封装常见的引理或论证风格,而在分析理论中,我们必须不断地手工证明这些引理或论证风格。

例如,正如综合拓扑学中的每一个对象都是“拓扑的”一样,它们之间的每一个“函数”都自动保持这种拓扑(是“连续的”)。

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