综合数学简介 (4-2)

在现代“分析拓扑学”中，“空间”被定义为一个点集，配备了一组称为开集的子集，它们描述了点如何连续地变化到彼此。

（大多数分析拓扑学家，由于不了解综合拓扑学，会简单地把他们的研究对象称为“拓扑学”。）

相比之下，在综合拓扑学中，我们假设了一个公理化的理论，与ZFC处于同一本体论层次，其基本对象是空间而不是集合。

当然，我们说基本对象“是”空间，并不意味着它们是配备有开子集的集合。

相反，我们的意思是“空间”是一个未定义的词，理论的规则使这些“空间”或多或少地具有我们期望空间所具有的行为。

特别是，综合空间有开子集（或者更准确地说，开子空间），但它们不是通过指定一个集合以及一组开子集来定义的。

事实证明，像综合集合论（ZFC）一样，综合拓扑学也足以编码所有的数学。

这是真的，在一个平凡的意义上：我们从所有解析空间中找出那些非离散的子类，其中唯一的开子集是空集和整个空间。

综合拓扑学中也可以定义“非离散空间”的概念，这样的空间的集合形成了一个类似ETCS的集合宇宙。

因此，我们可以用它们来编码数学，完全忽略综合空间理论的其余部分。

（关于离散空间也可以说同样的话，在离散空间中每个子集都是开的；但从综合的角度来定义和处理这些空间更难（虽然不是不可能）。

离散空间和非离散空间之间的关系，以及它们如何立足于综合空间理论中，是综合内聚（cohesion）理论的核心，我相信 David 将在他关于几何哲学的章节中提到这一点)。

然而，一个不那么无聊的方法是直接将数学对象构建为空间。

这是如何实现的？

事实证明，我们用来构建（比如说）实数集合的基本构造，与作用于空间的构造有着高度的相似性。

因此，在综合拓扑学中，我们可以使用这些构造直接构建实数空间。

如果我们的综合拓扑学系统设置得足够好，那么产生的空间将表现得像分析实数空间（先构造实数的单纯集合，然后以开区间的并集作为其拓扑）。

下一个问题是，我们为什么要以这种方式做数学？

有很多原因，但现在我认为它们可以分为三类：模块化、哲学和实用主义。

所谓“模块化”，我指的是程序员所说的那个：即使我们相信空间最终是从集合中分析性地构建出来的，隔离它们的基本属性并抽象地处理这些属性通常也是有用的。

这样做的一个好处是通用性。

例如，在欧几里得的“中性几何”（即不使用平行公设）中证明的任何定理，不仅在实数的有序对模型中是正确的，而且在各种非欧几何中也是正确的。

同样，在综合拓扑学中证明的定理可能不仅对普通的拓扑空间是正确的，而且对其他变体理论如拓扑层、光滑空间等也是正确的。

就像数学中经常发生的那样，如果我们只陈述我们需要的假设，我们的定理就会变得更加通用。

即使我们只关心综合理论的一个模型，模块化仍然可以使我们的生活更轻松，因为综合理论可以形式地封装常见的引理或论证风格，而在分析理论中，我们必须不断地手工证明这些引理或论证风格。

例如，正如综合拓扑学中的每一个对象都是“拓扑的”一样，它们之间的每一个“函数”都自动保持这种拓扑（是“连续的”）。

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