Cauchy-Davenport定理 (3-2)

上文也解释了这个现象：在整数中，一个元素加上另一个元素，会等于某一个元素（通俗的说一个数加一个数不会变成俩数）。这是由于整数 ℤ 上包含的最大正测度子群是 {1} ，测度是 1，因此这个子群会“吸收” A＋B 上的一个元素。另一方面，两个数加两个数最少包含三个数，这也是由于上述子群最多只能帮我们吸收掉一个元素。

上面的现象看似平凡，但是并没有很平凡。比如在实数ℝ 上，我们搭配 λ 为其上的一个Lebesgue测度。我们可以将整数一一对应到 ℝ 上的区间，比如 1 对应到 [0，1] ， 2 对应到 [1，2] 等等。但是这个时候，我们会发现 [0，1]＋[0，1]＝[0，2] ，即两个长度为 1 的区间加到一起变成了长度为 2 的区间（如果把区间当做数，相当于出现了一个数加一个数变成了两个）。这是由于 ℝ 是连通的，于是它不包含任何有限正测度的子群。这时候就没有子群帮助我们“吸收” A＋B 的大小了。

通过对比上文中ℤ/pℤ 上的 Cauchy-Davenport 定理，我们可以猜测，一般群上可能长这样：

μ(AB) ≥ min{μ(A)＋μ(B) – μ(H)，μ(G)}

其中H 是 G 中测度最大的真子群。考虑到 ℤ/pℤ 最大真子群大小为 1 ，上面的式子，如果成立，完美包含了原来的Cauchy-Davenport。

上面我们的“猜想”，对一般的幺模群是对的。这个结果的各种情况有很多数学家证过，最终阿贝尔群被Kneser证明（现在一般称为Kneser不等式），普通的幺模群被Kemperman证明（现在称为Kemperman不等式）。

可是这个式子在最一般的局部紧群是错的。一般的，假设 μ 是群上左平移不变的Haar测度， A 是某个紧集， 我们选取 B 使得 B 中只包含将 A 向右平移到测度非常小的集合。这时候， μ(AB) 可以非常接近 μ(B) ，哪怕群 G 上并没有任何有限正测度的子群。（特别的， μ(AB) 可以小于 μ(A) ）

因此在一般群上，我们需要同时引入左平移测度和右平移测度，来中和一个方向平移带来的影响。下面是我和朋友 Minh[2]最近证明的定理：

定理（J. -Tran, 2021）：如果 G 是局部紧群， Δɢ：G → ℝ 是modular function， μ 是一个左平移Haar测度， ν 是一个右平移Haar测度且满足 ν＝μ⁻¹ 。如果 A，B 是 G 上的正测度紧集，且 α＝inf Δɢ(x)，β＝sup Δɢ(y) 。 x∈A

y∈B

我们有

{ ν(A) μ(B)

min (───＋───)

{ ν(AB) μ(AB)

μ(H)

(1 – ───────)

ον(A)＋β⁻¹μ(B)

μ(G)

，───} ≤ 1，

μ(AB)

其中 H 是 ker Δɢ 上测度最大的紧真子群。

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