数学联邦政治世界观
超小超大

Cauchy-Davenport定理 (3-2)

上文也解释了这个现象:在整数中,一个元素加上另一个元素,会等于某一个元素(通俗的说一个数加一个数不会变成俩数)。这是由于整数 ℤ 上包含的最大正测度子群是 {1} ,测度是 1,因此这个子群会“吸收” A+B 上的一个元素。另一方面,两个数加两个数最少包含三个数,这也是由于上述子群最多只能帮我们吸收掉一个元素。

上面的现象看似平凡,但是并没有很平凡。比如在实数ℝ 上,我们搭配 λ 为其上的一个Lebesgue测度。我们可以将整数一一对应到 ℝ 上的区间,比如 1 对应到 [0,1] , 2 对应到 [1,2] 等等。但是这个时候,我们会发现 [0,1]+[0,1]=[0,2] ,即两个长度为 1 的区间加到一起变成了长度为 2 的区间(如果把区间当做数,相当于出现了一个数加一个数变成了两个)。这是由于 ℝ 是连通的,于是它不包含任何有限正测度的子群。这时候就没有子群帮助我们“吸收” A+B 的大小了。

通过对比上文中ℤ/pℤ 上的 Cauchy-Davenport 定理,我们可以猜测,一般群上可能长这样:

μ(AB) ≥ min{μ(A)+μ(B) – μ(H),μ(G)}

其中H 是 G 中测度最大的真子群。考虑到 ℤ/pℤ 最大真子群大小为 1 ,上面的式子,如果成立,完美包含了原来的Cauchy-Davenport。

上面我们的“猜想”,对一般的幺模群是对的。这个结果的各种情况有很多数学家证过,最终阿贝尔群被Kneser证明(现在一般称为Kneser不等式),普通的幺模群被Kemperman证明(现在称为Kemperman不等式)。

可是这个式子在最一般的局部紧群是错的。一般的,假设 μ 是群上左平移不变的Haar测度, A 是某个紧集, 我们选取 B 使得 B 中只包含将 A 向右平移到测度非常小的集合。这时候, μ(AB) 可以非常接近 μ(B) ,哪怕群 G 上并没有任何有限正测度的子群。(特别的, μ(AB) 可以小于 μ(A) )

因此在一般群上,我们需要同时引入左平移测度和右平移测度,来中和一个方向平移带来的影响。下面是我和朋友 Minh[2]最近证明的定理:

定理(J. -Tran, 2021):如果 G 是局部紧群, Δɢ:G → ℝ 是modular function, μ 是一个左平移Haar测度, ν 是一个右平移Haar测度且满足 ν=μ⁻¹ 。如果 A,B 是 G 上的正测度紧集,且 α=inf Δɢ(x),β=sup Δɢ(y) 。 x∈A

y∈B

我们有

{ ν(A) μ(B)

min (───+───)

{ ν(AB) μ(AB)

μ(H)

(1 – ───────)

ον(A)+β⁻¹μ(B)

μ(G)

,───} ≤ 1,

μ(AB)

其中 H 是 ker Δɢ 上测度最大的紧真子群。

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