Cauchy-Davenport定理 (3-1)

对于群(G，＋) 上的两个非空集合 A，B ，我们定义他们的Minkowski 和为

A＋B：＝{α＋b：α ∈ A，b ∈ B}

那么给定|A| 和 |B| ， |A＋B| 至少有多大呢？这个问题是堆垒数论，加性组合等领域的重要问题之一。历史上，这类问题也曾被称为 α＋β 问题；Mann [1]因为在 density 意义下证明了 α＋β 问题而获得了 Cole 数论奖。

当我们将群选取为(ℤ，＋) 时，只应用小学数学知识，可以很容易的证明下述结论。

Observation：如果 A 是整环 ℤ 的非空有限子集。那么 |A＋A| ≥ 2|A| – 1 。

证：由于 A＋A 包含 A＋min A 以及 A＋max A 于是命题显然。这里 min A，max A 指 A 中的最小元素和最大元素。

但是对于一般的群，这个问题就变得没那么显然了。比如对于一个和整数很像的群ℤ/pℤ ，即素数阶循环群。这时候群上的两个集合的Minkowski和最小是多少呢？这个就是著名的Cauchy-Davenport定理：

定理（Cauchy-Davenport）：如果 A，B 是 ℤ/pℤ 中的两个非空子集，那么 |A＋B| ≥ min{|A|＋|B| – 1，p}.

Cauchy-Davenport定理虽然和最上面提到的整数上的现象十分相似，但是证明的难度却相差很多。目前最简单的证明是通过 Nullstellensatz 来证（见 Yifan：我的Prelim考试试题）。

那么对于其他的群呢？

一般的，我们用(G，·) 来表示一个群，于是Minkowski和的定义变为了 AB＝{αb：α ∈ A，b ∈ B} 。

集合的大小实际上是离散拓扑下的测度。对于局部紧群，我们都有唯一的Haar测度。于是在这种群上我们都可以问，AB 的测度最小是多少呢？

为了简单起见，我们假设A，B 均为紧集，这时候 AB 也是紧集，于是可测。（一般的，如果 A，B 两个集合均可测， AB 不一定可测。学过实分析的同学可以尝试自己构造一下）

如果我们的群G 不包含任何有限正测度子群：即对任意子群 H ，要么 H 零测，要么 H 测度是无穷。这时候，直觉上群中的子群对 AB 的测度大小的影响比较小。比如欧氏空间 ℝⁿ 中，我们有 λ(A＋A) ≥ 2ⁿλ(A) ，其中 λ 是 ℝⁿ 上的一个Lebesgue测度。可以看到，这时 A＋A 的测度相对于 A 的测度增长很快。这个不等式也被称为Brunn-Minkowski不等式，在几何中有很多应用。这个方向在一般群上的进展也是我和朋友之前证明的一个结果，详见 Yifan：一个Brunn-Minkowski不等式 。

这里我们主要考虑的情况是，在群G 包含有限正测度子群时， A＋B 的测度可以有多小。容易看出，假设 H 是某个正测度紧群，且 A＝B＝H ，那么有 μ(AB)＝μ(A)＝μ(B) 。这时我们看不到 AB 在测度意义下有任何扩张。（这里 μ 是一个左Haar测度。）

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