C(n)基数（一） (15-9)

关键是，固定一个枚举ϕn(x) n＜ω的所有п1公式定义适当的类，句子eλEx(λe Lim(C(1))ˇx = vλˇ6n(vλ| = 6αeβ>αea(rk(a)＞βˇ| = 1 ϕn(a))))是参数ϕn(x中的σ2)n＜ω，因此它由μ反映，从而产生Lim(C(1))中的λ＜μ，其捕获所有п1真类。

命题4.4设C是同类型结构的п1真类。

如果存在一个基数κ＜λ-超紧，对于一些λ e Lim(C(1))大于捕获C的κ，那么VP对C成立。

证明因为λ捕获C，所以在Vλ中存在C的任意高阶的元素。

所以，由于λ e Lim(C(1))，我们可以发现δ＜λ使得Vδ = Hδ，并且B e C ∩ Vδ的秩大于κ。

设j : V → M是临界点为κ的初等嵌入，j (κ)＞δ，M在δ-序列下闭。

由于B e M和C是п1可定义的，M |= "B e C "。

并且由于M在δ-序列下是闭的，所以基本嵌入j T B : B → j (B)属于M。

因此，M |= "E A e C Ee(秩(A)＜j(κ)ˇE:A→j(B)是初等的)，由于这是由B和j T B见证的。

通过基本性，同样的必须在V中成立，即，E A e C Ee(秩(A)<κˇe:A→B是初等的)，这正是我们想要的。

п接下来我们给出定理的一个强逆4.3。

定理4.5 ([1])假设那是同类型τ的σ2(不一定真)类结构，假设存在一个超紧基数κ大于出现在的某个σ2定义中的参数的秩，且与τ Vκ。

那么对于每个B，存在一个基本上可嵌入B的Vκ。

证明固定一个σ2公式ϕ(x，y)和一个集合b使得B ϕ(B，b)，并假设κ是一个具有b Vκ的超紧基数。

固定B，设λ C(2)大于秩(B)。

设j V M是具有M个传递临界点κ的初等嵌入，使得j (κ)＞λ且M在λ-序列下是闭的。因此，B和j T B : B → j (B)以M为单位，还有Vλ e M .

因此vλ∫1m .

此外，由于j (τ) = τ，j (B)是τ型结构，j T B是初等嵌入。

因为vλ∫2v，Vλ |= ϕ(B，b)。

并且由于σ2公式在Vλ和m之间是向上绝对的，M |= ϕ(B，b)。

因此，在m中确实存在X e Mj(κ)使得ϕ(X，b)，即b，并且存在初等嵌入e : X → j (B)，即j T B。

因此，通过初等性，在v中同样成立；也就是说，存在X e Vκ使得ϕ(X，b)，并且存在一个初等嵌入e : X → B.

п下面的推论给出了Vopeˇ nka原理对于п1和σ2类在超紧性方面的特征。

在接下来的两个推论中,(2)和(3)的等价性已经在[1].推论4.6以下是等价的:

(1)V P(п1)。

(2)V P(κ，σ2)，对于某些κ。

(3)存在一个超级紧基数。

证明(2)证明(1)是直接的。

(1)(3)由定理给出4.3, (1).和(3)从定理中得出(2)4.5。

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