C(n)基数（一） (15-10)

п下一个推论给出了参数化版本。

蕴涵式(1) (3)由定理给出4.3, (2).推论4.7以下是等价的:

(1)V P(п1)。

(2)V P(κ，σ2)，

(3)对于一类适当的基数κ。

存在一类适当的超紧红衣主教。

接下来，我们将根据反射的自然原理给出超紧性的一个特征。

从定义中回忆4.1基数κ反映了一类相同类型的结构，如果对于每个B都存在一个基本可嵌入B的Hκ。

定理4.8(马吉德[8])如果κ是反映п1真类的最小基数c的结构形式(Vλ，e)，那么κ是超紧的。

证明对于每个大于κ的λ，存在α＜κ和一个初等嵌入jλ : (Vα，e) → (Vλ，e)。

设α是一类适当的极限λ嵌入的最小序数。

我们可以假设jλ不是恒等式，因为如果它们是λ的一个适当类的恒等式，那么Vα将是V的基本子结构，这是不可能的，因为α是可定义的。

我们也可以假设所有这些嵌入的临界点是相同的，比如说β，而β是最小的。

此外，我们可以假设β的像总是相同的，否则对于λ的一个适当的类，嵌入jλ T Vβ的恒等式将证明Vβ是VJλ（β）的基本子结构，而jλ（β）形成一个适当的类，这又将暗示Vβ是V的基本子结构，这是不可能的，因为β是可定义的。

因此设δ最小使得对于极限λ的适当类C，α相同，jλ不是恒等式，临界点β相同，并且jλ（β）δ。

通过引理3.1，β《α-超紧。因此，根据jλ的初等性，δ为《λ-对所有λ C都是超紧的，因此δ是超紧的。

因此δ κ，因为δ反映了，根据定理4.5κ是最不重要的基数。

所以假设，针对一个矛盾，δ》κ。

根据定理4.5，δ反映了形式为Vλ，γ的结构的适当类，其中λ是极限阶，γ《λ，即п1。因此，与前面类似，对于一类适当的极限λ，存在固定的γ《α《κ和基本嵌入kλ Vα，γ Vλ，κ，它们都具有相同的临界点，并且其临界点的图像点是小于或等于κ的某个固定序数，与δ的最小值相矛盾。

п最后两个定理给出了第一超紧基数的下列特征。

推论4.9以下是等价的:

(1)κ是第一个超紧凑基数。

(2)κ是反映所有σ2可定义的、参数在Vκ中的同类型结构类的最小基数。

即κ是V P（κ，σ2）成立的最小序数。

(3)κ是反映Vλ形式的п1类结构的最小基数λ一个序数。

用定理证明κ是超紧基数4.5v P（κ，σ2）成立，因此κ反映了结构类（Vλ，e），λ是序数。

所以根据定理4.8，（1），（2）和（3）是等价的。

пDavid Asperó指出了最后一个推论的以下参数化版本。

推论4.10当且仅当κ是超紧基数或超紧基数的极限时，基数κ反映相同类型的所有п1（真）类结构。

显然，证明п1类结构的反射性质在极限下是封闭的。

所以如果κ是超紧基数或超紧基数的极限，那么Theo- rem4.5意味着κ反映了所有п1类。

另一个方向可以像定理1中那样得到证明4.3(2).

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