C(n)基数（一） (15-7)

本节建立在[1]，用C(n)-可扩基数给出了Vopeˇ nka原理的新的更清晰的特征。回想一下，Vopeˇ nka的原理(VP)指出，对于同一类型的每个适当的结构类，都存在一个B，使得A基本上可嵌入到B中。

VP可以在集合论的一阶语言中被公式化为一个公理模式，即作为一个无限的公理集，每个公理对应一个具有两个自由变量的公式。

形式上，对于每个这样的公式ϕ(x，y)有一个公理:

∀x [(∀y∀z(ϕ(x，y) ∧ ϕ(x，z) → y和z是同类型的结构)∧∀α ∈

或

∃y(rank(y)＞α ∧ ϕ(x，y)→∃y∃z(ϕ(x，y) ∧ ϕ(x，z) ∧ y /= z ∧ ∃e(e : y → z是初等的))】。

从今以后，VP将被理解为这个公理模式。

例如，ZFC加VP理论意味着可扩展基数类是固定的，即每个可定义的俱乐部固有类都包含一个可扩展基数([8]).

它的一致性是众所周知的ZFC的一致性加上一个几乎巨大的基数的存在(见[5]，或[4]).

下面我们将给出关于C(n)-基数的精确等价。

让我们考虑VP的下列变体，第一个显然比第二个强得多。

我们说一个类是σn(пn ),如果它是可由集合论语言的σn(пn)公式带参数定义的。

如果不涉及参数，那么我们使用字体类型σn(пn)。

定义4.1如果γ是σn，пn，some n ω中的一个，κ是一个无穷基数，那么我们写V P(κ，γ)作如下断言:

对于同类型τ的每个γ真结构类，使得τ和的某些γ-定义的参数(如果有的话)都属于Hκ，反映在k之下，即对于每个B，存在一个Hκ基本上可嵌入到B中。

如果γ是σn，пn，或σn，пn，some n ω中的一个，我们为下面的陈述写V P(γ):对于集合论语言的每一个γ真结构类，都有一个(等价地，有限多个)额外的1元关系符号，在C中存在不同的A和B，A基本嵌入B。

σ1类的VP是ZFC的一个结果。

事实上，以下情况成立。

定理4.2如果κ是不可数基数，那么σ1可定义的、参数在Hκ中的同类型τ Hκ的每一类(不一定是真的)结构都在κ下面反射。

因此，V P(κ，σ1)适用于每一个不可数的基数κ。

证明固定一个不可数基数κ和一类同类型结构τ Hκ，可由带Hκ中参数的σ1公式定义。

给定B，设λ是大于κ的正则基数，B为Hλ，N是Hλ的初等子结构，基数小于κ，包含B和{τ }的传递闭包和c的σ1定义中的参数。

设A和M分别是B和N的传递塌缩，设j : M → N是塌缩同构。

那么A e Hκ，而j T A : A → B是初等嵌入。观察到j (τ) = τ。

因此，由于σ1公式对于传递模型是向上绝对的，并且由于M |= A e C，我们有A e C. п相比之下，Vopeˇ nka关于п1真类的原理意味着存在非常大的基数。

定理4.3

如果V P(п1)成立，那么存在一个超紧基数。

如果V P(п1)成立，那么就存在一类适当的超紧基数。

证明(1)。

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