C(n)基数（一） (15-6)

如果∃xϕ(x)在Vκ中成立，那么既然由归纳假设κ ∈ C(n+1)我们有∃xϕ(x)在v中成立现在假设a是这样的ϕ(a)在v中成立用a ∈ Vλ挑λ＞κ，设j : Vλ → Vμ是初等的，有临界点κ且j (κ)＞λ。

那么由于j (κ) ∈ C(n)，并且由于ϕ(a)是参数a ∈ Vj(κ)中的一个пn+1句子，我们得到Vj(κ) |= ϕ(a)，因此根据初等性，Vκ |= ∃xϕ(x).п

让我们观察到，对于任何给定的α＜λ，关系“α是λ-C(n)-可扩的”是σn+1(n≥1)，因为它成立当且仅当∃μ∃ j ( j : Vλ → Vμ ∧ j初等∧ cr i t ( j) = α ∧ j(α)＞λ ∧ j(α) ∈ C(n))。

因此，“x是C(n)-可扩基数”是x的一个пn+2性质。

命题3.5对于每个n ^ 1，如果κ是C(n)-可扩的且κ^ 1-C(n+1)-可扩的，那么C(n)-可扩的基数的集合在κ以下是无界的。

因此，第一个C(n)-可扩基数κ，如果存在的话，不是κ+1-C(n+1)-可扩的。

特别地，第一可扩基数κ不是κ+1-C(2)-可扩的。

证明假设κ是C(n)-可扩的和κ+1-C(n+1)-可扩的，由j:Vκ+1 → Vj(κ)+1。

由于j (κ) ∈ C(n+1)，Vj(κ) |= "κ是C(n)-可扩的"。

因此，对于每个α＜κ，Vj(κ) |= "∃β＞α(β是c(n)-可扩的)"，因为这是由κ见证的。根据j的初等性，对于每个固定的α＜κ，有β＞α使得，Vκ |= "β＞α ∧ β是C(n)-可扩的"。

因为，根据命题3.4，κ ∈ C(n+2)，β是V . п中的C(n)-可扩的

命题3.6对于每一个n，如果存在一个C(n+2)-可扩基数，则存在一个C(n)-可扩基数的真类。

由最后一个命题证明，如果κ是C(n+2)-可扩的，那么C(n)-可扩的基数的集合在κ以下是无界的。

现在这个命题很容易从这样一个事实得出:如果κ是C(n+2)-可扩的，那么κ ∈ C(n+4)(命题3.4)，以及C(n)-可扩是一个пn+2-性质的事实。

п然而，注意，C(n+1)-可扩基数κ的存在并不意味着大于κ的C(n)-可扩基数的存在。

因为如果λ是最小这样的C(n)-基数，那么NVλ就是ZFC加“κ是C(n+1)-可扩的”的模型，因为λ C(n+2)(命题3.4)并且是C(n+1)-可扩的是κ的一个пn3性质。

而Vλ也满足“不存在大于κ的C(n)-可扩基数”，因为任何这样的C(n)-可扩基数都将是V中的C(n)-可扩基数，因为κ C(n+2)。

下一个命题给出了C(n)-超强基数的一个上界。

命题3.7如果κ是κ+1-C(n)-可扩的，那么κ是C(n)-超强的，并且在κ上存在一个κ-完全正规超滤子U使得小于κ的C(n)-超强基数的集合属于U。

证明如在[5]，命题26.11 (a)。п

4，沃佩恩卡原理

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