C(n)基数（一） (15-5)

所以，j∫:vκ+1→Mj（κ）+1是初等的，j∫∈M .因此M | =“j∫:vκ+1→Vj（κ）+1是初等的”。

因为κ∈C（n），所以M | =“j（κ）∈C（n）”。

因此，M | =“κ是κ+1-C（n）-可扩的”（参见定义3.2).

因此，如果U是从j导出的κ上的标准超滤子，则我们有{α《κ:α是α+1-C（n）-可扩的}∈ U现在在【5】，命题26.11（a），人们可以证明如果α是α+1-C（n）-可扩的，那么α是C（n）-超强的。п

3，c（n）可扩基数

回想一下，基数κ是λ-可扩的，如果有一个基本嵌入j Vλ Vμ，某个μ，具有临界点κ，并且j（κ）》λ。

并且κ是可扩的，如果它对所有λ》κ是λ–可扩的。

下一个引理暗示每个可扩基数都是超紧的。

引理3.1（马吉德【8】）假设j VλVμ是初等的，λ是极限序数，κ是j的临界点。

那么κ《λ-超紧。证明固定γ《λ并定义uγ= { x⊆pκ（γ）:j“γ∈j（x）}。

请注意，如果j（κ）》γ，这是有意义的，在这种情况下，很容易检查Uγ是κ-完全，精细和正常的度量。

否则，设j ^ 1 = j且JM+1 = j♀JM。

如果jm（κ）》γ对于某个m，则使用JM而不是j来定义Uγ.

但这样的m确实存在，否则δ:= supm（JM（κ））≤γ《λ，然后由于j（δ）=δ我们将有j T Vδ+2 : Vδ+2 → Vδ+2是具有临界点κ的初等的，与Kunen定理相矛盾（【6];另见【5], 23.14).п定义3.2对于基数κ且λ＞κ，我们说κ是λ-C(n)-可扩的，如果有一个初等嵌入j Vλ Vμ，某μ，有临界点κ，且使得j (κ)＞λ且j (κ) C(n)。

我们说κ是C(n)-可扩的，如果它对所有λ＞κ是λ-C(n)-可扩的。

命题3.3每个可扩基数都是C(1)-可扩的。

证明假设κ可扩且λ大于κ。

在C(1)中取λ◼≥λ，设j:Vλ◼→Vμ是cr i t ( j) = κ且j(κ)＞λ◼的初等嵌入。

因为λ♀是一个基数，Vλ♀= Hλ♀，通过j的初等性，我们也得到μ是一个基数，Vμ = Hμ。

因此μ ∈ C(1)。

因为，再一次根据初等性，Vμ |= j (κ) ∈ C(1)，所以得出j (κ) ∈ C(1)。

п注意，如果j Vλ Vμ有临界点κ，而κ，λ，μ C(n)，那么j (κ) C(n)自动跟随。

显然，如果κ是C(n)-可扩的，那么κ ∈ C(n)。

但更多的是真的。

命题3.4如果κ是C(n)-可扩的，那么κ ∈ C(n+2)。

n上的归纳法证明。

每个可扩展基数都在C(3)中(参见[5]，23.10)，它处理n = 0和n = 1的情况。

现在假设κ是C(n)-可扩的并且∃xϕ(x)是σn+2句，其中ϕ是пn+1，在Vκ中有参数。

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