C(n)基数（一） (15-4)

在Vδ中，κ是C（n）-超强，C（n）-可扩，C（n）-超紧，C（n）-k-巨大，并且c（n）-super huge，对于所有n，k ≥ 1（定理7.1，第节。7).

2，超强红雀

接下来我们将看到，在超强基数κ的情况下，对于n》1，j（κ）C（n）的要求产生了越来越强的大基数主原则的层次。

定义2.1如果存在一个初等嵌入j : V → M，m传递，临界点为κ，VJ（κ）⊆m，j（κ）∈c（n），则基数κ是c（n）-超强。

请注意，如果j V M .证明了κ是C（n）-超强的，那么Vκ是Vj（κ）的一个元素子结构，因此κC（n）。

因此，每个C（n）-超强基数都属于C（n）。

命题2.2如果κCr I t（j），其中j V M是初等嵌入，M是传递的且Vj（κ）M，则j（κ）C（1）。

因此，每个强基数都是C（1）-强基数。

证明由于κ∈C（1），M满足j（κ）∈C（1），即M满足j（κ）是强极限基数且Vj（κ）= Hj（κ）。

但由于（Vj（κ））M = Vj（κ），j（κ）在V中是一个强极限基数，其中Vj（κ）= Hj（κ），因此j（κ）∈C（1）。

п观察到对于n ^ 1，句子“κ是C（n）-超强”是σn ^ 1，对于κ是c（n）-超强当且仅当∃β∃μ∃e(κ《β《μ∧μ∈c（n）∧e是（κ，β）-扩张子∧ E ∈ Vμ ∧vμ| =“je（κ）∈c（n）∧vje（κ）⊆me“）。

命题2.3对于每一个n ≥ 1，如果κ是C（n+1）-超强，那么在κ上存在κ-完全正规超滤子U使得{α《κ:α是C（n）-超强}∈ U因此，第一个C（n）-超强基数κ，如果存在的话，就不是C（n+1）-超强基数。

证明假设κ是c（n+1）-超强，由具有相关初等嵌入的（κ，β）-扩张子e证明jE = j : V → M使得β= j（κ）和VJ（κ）⊆m .

由于j（κ）∈c（n+1），VJ（κ）| =“κ是C（n）-超强“。

并且由于κ∈C（n+1），M | =“j（κ）∈C（n+1）”。

因此，因为Vj（κ）=（Vj（κ））M，并且因为“κ是C（n）-超强”是σn+1陈述，所以我们有:m | =“κ是C（n）-超强”。

现在使用标准参数（例如参见【5】，5.14，5.15或22.1）可以证明集合{α《κ:α是c（n）-超强}属于κ-完全正规超滤子u:= { x⊆κ:κ∈j（x）}。

п以下命题给出了C（n）-超强基数在通常的大基数层次中的相对位置的一个上界。回想一下，κ是λ-超紧的，如果有一个初等嵌入j V M，M是传递的，Cr I t（j）κ，j（κ）》λ，并且M在λ-序列下是闭的。

等价地，如果在κ（λ）上存在κ-完全、精细和正规超滤子，则κ是λ-超紧的（参见【5], 22.7).κ是超紧的，如果它对所有λ是λ-超紧的。

命题2.4如果κ是2κ-超紧的且属于C（n），那么在κ上存在κ-完全正规超滤子U，使得小于κ的C（n）-超强基数的集合属于U证明设j : V → M是来自pκ（2κ）上的κ-完备细正规超滤子V的初等嵌入。

设j∫:= j T vκ+1。

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